MAXIMA ET MIN1MA
minimum : 1* que la première dérivée totale dont tous les termes ne s'évanouissent pas séparément soit d'ordre pair ; 2° que cette dérivée totale conserve le même signe (négatif dans le cas du maximum, positif dans le cas du minimum), quel que soit le rapport arbitraire établi entre les accroissements infiniment petits des variables indépendantes.
Telle est, en effet, la règle que les auteurs ont coutume' de donner sans restriction , mais qui en comporte une très; importante. En effet , si , par exemple , quelques-unes des dérivées partielles u, m, w, v, se présentaient sous les formes indéterminées £ ', £ , et que leurs vraies valeurs fussent susceptibles de varier avec y', l'équation (ft) pourrait, ou cesser d'être algébrique , ou n'être plus d'un degré impair par rapport à y', et n'avoir que des racines imaginaires; en sorte qu'il pourrait y avoir maximum ou minimum sans que les équations (e,) fussent vérifiées.
148. Quand la fonction z éprouve une solution de continuité du second ordre, et que les dérivées p, q, deviennent toutes deux infinies , la valeur de y' est encore donnée par l'équation (cT) sous une forme indéterminée ; et il convient de recourir à une discussion spéciale pour chaque cas , afin de reconnaître si cette circonstance correspond ou non à un maximum ou à un minimum de z.
Soit, par exemple,
d'où
Sx
le système de valeurs x=0, y=0 annule z et rend p et q infinis ; car, si l'on pose y=*x. il vient
250 livre nr. — chapitre m.
valeurs infinies pour x=0. Mais à cette limite le rapport a
se change en y', et l'équation (d') donne
L'imaginarité de ces valeurs de y montre qu'il n'y a pas de ligne de niveau passant par l'origine des coordonnées, et qu'ainsi ce point correspond à un maximum ou à un minimum de z. D'ailleurs, la forme de la fonction fait voir qu'elle ne peut admettre qu'un minimum.
149. Considérons maintenant la fonction de trois variables u=f (x, y, z), et, pour plus de commodité, faisons usage de la notation
du du du
dVt-r"dy-r%'dz*-r%%
l^^$^d^z^8il9d^z-^ Si l'on conçoit des liaisons arbitraires établies entre x et chacune des deux autres variables y et z, u deviendra fonction de la seule variable x , et l'on aura , pour l'équation commune au maximum et au minimum ,
^=Pt +/»■»' -*-*•*' = °-
En conséquence, pour qu'il y ait maximum ou minimum absolu [145], ou pour que l'équation précédente soit satisfaite indépendamment des rapports arbitraires y\ z, il faudra qu'on ait séparément
Pi = 0,/>, = 0,/>3 = 0; (E)
ce qui réduit l'expression générale de —t au polynôme
MAXIMÀ ET MINIMÀ. 251
Il faudra en outre que ce polynôme conserve le même signe, sans s'évanouir, quelques valeurs réelles qu'on attribue à y', z' ; et pour cela que l'équation en y', z qu'on formerait en égalant ce polynôme à zéro, ne donne jamais à Tune de ces variables une valeur réelle , quelle que soit la valeur réelle de l'autre variable.
En résolvant cette équation par rapport à y', nous trouverons que y' reste constamment imaginaire, si l'on a, quel que soit z%
ou
Cette dernière condition se vérifie à son tour, si Ton a
d'abord
Kf — rt r, < 0, *y — r,r3< 0, (G)
et ensuite
(*i.t *w — r* $w)* — (*!,** - rt r%) (*,s* — rA r,)< 0 . (G ,)
Les inégalités (G) exigent que les trois dérivées partielles rn rtJ r« soient de même signe ; et l'une de ces inégalités étant posée, l'autre est une conséquence de l'inégalité (G4) : de sorte que cette dernière inégalité, jointe à l'une des inégalités (G) et aux équations (E), compose le système des conditions requises pour l'existence du maximum ou du minimum. La symétrie indique que dans ce système on doit avoir aussi
fi.*1— rxr% < 0.
H y aura maximum si les trois dérivées ri9rl9 r, sont négatives, et minimum si elles sont toutes trois positives.
Si les valeurs de x, y, z qui satisfont aux équations (E)r vérifiaient les suivantes
rt — 0, rt ^ 0, r, =0 ; *i,i — 0, *i,s — 0 *M — 0, (E,)
il faudrait, pour l'existence du maximum ou du minimum f
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que les mêmes valeurs annulassent toutes les dérivées partielles du troisième ordre , et que la dérivée totale du troisième ordre conservât constamment le même signe (négatif dans le cas du maximum, positif dans le cas duminimum), indépendamment des rapports arbitraires y' z' ; et ainsi de suite.
Néanmoins, la règle tomberait en défaut , si les dérivées partielles qui ne s'évanouissent pas se présentaient sous une forme indéterminée, et devenaient fonctions des rapports y% z'y comme on en a vu des exemples, à propos des fonctions des deux variables.
Elle tomberait encore en défaut, et il faudrait recourir à une discussion spéciale pour chaque cas, si les dérivées partielles du premier ordre ou des ordres supérieurs devenaient infinies.
150. Comme application de cette théorie, proposons-nous de déterminer, parmi les triangles isopérimètres, celui dont. Taire est un maximum.
En appelant le le périmètre, x et y deux des côtés, z l'aire du triangle, on a la formule connue
Les équations du maximum sont :
ou plus simplement, en écartant les solutions #=+ co7 y=±oo,
(*— y) (ic—ix—y) = 0, (c—x) (2<r— Zy— x) = 0. Ces dernières équations se décomposent dans les quatre systèmes
