MAX1MA ET MÏNIMA

y = c, 2c — fy — x = 0 X = C, 2c - 2a? — y = Q; } ou 2c — 2y— a?=0, 2c — 2x — y = 0 Le dernier système est le seul qui satisfasse à l'énoncé géométrique de la question : les autres répondent à des cas où le triangle est impossible.

Qna

r=-tt/c. y^^y

[(c-x)(x + y-cm.

l/(t—x)(c-y).(x + y-cy'

t = ~Wc'[c-y){x + y-c)]ï

En conséquence la condition exprimée par l'inégalité (g) devient après réduction

— zy + (x + y — c)*<o, et se trouve satisfaite pour toutes les valeurs réelles de x, y. D'ailleurs, il est visible que r et t sont négatifs : ainsi le système x=:y=i\c correspond bien à un maximum de la fonction z. On en conclut que le triangle qui satisfait à la question est équ Daterai, ce qui se démontre au surplus en géométrie élémentaire.

151 . Cherchons encore le système des valeurs de x, y qui rend un maximum la fonction

a + bx + cy

nous aurons les équations

b — ax + y[by—cx)

c — ay + x {ex — by) a= = o :

ou plus simplement * — ax + y (by — ex)= 0, e — ay + x (ex — by) =: 0. (h)

254 LIVRE Ht. — CHAPITRE UU

On y satisfait en posant

b^-ax =0,c — ay = 0, d'où by — cx= 0; (i)

ce qui donne pour la valeur maximum cherchée

Le système (i) comprend d'ailleurs toutes les solutions réelles du système (h); car si Ton opère entre les équations (h) l'élimination de y à la manière ordinaire, on aura pour l'équation résultante en x

(b—ax) [P + c*)x*+2àbx + a* + <*\ = 0;

et après qu'on a tenu compte du facteur b — ax> l'autre facteur ne donne pour x que les valeurs imaginaires

~ab± &T? •

Ona

(a+cyW +a» + y*) + %* [à - ax + y (by-cx)]

j$by—cx)H+xk + y*) — 3y[b — ax+y(by—cx)\, (a + bx)j\ + x*+y*) + 3y[c— qy+x(cx— by)]

Pour les valeurs de x, y qui satisfont aux équations (t), ces expressions se réduisent à

a\a*+c*\ a*bc A*+*)

r~""(a'+^+c,)rS""(a1+6t+0},l~ (û«+^+c}*;

et l'inégalité (g) devenant

(at + 6î + cy<0'

est nécessairement vérifiée. De plus, il ne peut y avoir lieu à un minimum, puisque les valeurs de r, t sont essentiellement négatives* Nous concluerons de ce calcul que les valeurs des quan-