MAXIMA ET MINIMA

tités variables y', z', qui rendent un maximum la fonction

X + Yy'+Zz7

doraient à u la valeur l/x* + Y* + Xf , ainsi qu'on Ta annoncé [129] , et sont déterminées par les équations Y-Xy' = 0,Z-X*' = 0.

Il resterait à faire voir, pour justifier ce qui a été dit dans le n° cité, que les équations

dy dz

Y— Xf=0,Z-X7 = 0 dx ilx

appartiennent à des lignes qui rencontrent normalement les

surfaces caractérisées par l'équation différentielle

1Ldx + Ydy + Zdz=zO;

mais ceci résultera de la théorie des surfaces courbes, qui doit être exposée dans le livre suivant,

$ 4. Maxima et minima des fonctions implicites.

152. Pour déterminer les maxima et minima de la variable y, donnée implicitement en fonction de x par l'équation

on posera

et l'on tirera des équations (k) et (&') les systèmes de valeurs de x et de y qui peuvent rendre la fonction y un maximum ou un minimum. On substituera ces valeurs dans l'équation

qui se réduit, à cause de y' = 0, à

256 LIVRE m. — CHAPITRE III.

d*f df

afin de s'assurer que les mêmes valeurs ne font pas évanouir y\ et en même temps pour distinguer, s'il en est besoin, le maximum du minimum, au moyen du signe que prend %\ Soit, par exemple, l'équation

x% — Zaxy + y* = 0, («)

qui représente une courbe (fig. 44), connue sous le nom de Folium de Descartes ; on en tirera

et, en conséquence, l'équation commune au maximum et au minimum sera

Par l'élimination de j/ entre les équations (a) et (|3), il

vient

équations dont les racines, les seules que nous voulions considérer, sont

X = 0, x = a y 2, auxquelles correspondent pour y les valeurs réelles

L'équation (kn) devient

(j* — ax)yn + 5x = 0;

et quand on y substitue les valeurs x = ay/\ y = a|/ï,

elle donne y'== — - : par conséquent ce système correspond

bien à un maximum si a est positif, et à un minimum si le même coefficient est négatif.

Pour le système x=0, j=0, la valeur de y' se présente, en vertu de l'équation (a'), sous la forme indépendante J;