MAXIMA ET MINIMA
des différentielles restées arbitraires : ce qui pourra exiger des calculs compliqués.
Quant à l'élimination entre les équations (ri) et (n"), elle s'opère élégamment par la méthode des facteurs indéterminée, dont on fait un fréquent usage en analyse. Concevons qu'on ait multiplié respectivement les premiers membres des équations (n") par des facteurs X„ X,,.... Xm, et qu'on les ajoute au premier membre de l'équation (ri) ; qu'ensuite on égale à zéro les multiplicateurs de chaque différentielle dans l'équation résultant de l'addition indiquée ; on aura n équations
df±* *Î*JL\ df*+ Ml ^--OPtr
entre lesquelles on pourra éliminer les m facteurs *d *iv *«> de manière à obtenir les équations finales, en nombre n — m.
155. Admettons, pour prendre un exemple, que l'on cherche le minimum de la fonction
tt = oj| + r, + ^+ ,
les variables x,y,z, étant liées par l'équation de condition
<&+ ty + cz +....— k,
dans laquelle a, b, c, k désignent des nombres
constants. On aura, en opérant d'après la manière qui vient d'être indiquée,
x+ a\ = 0, y + * >, - 0, x + <r>, - 0, etc.,
ce qui équivaut à
f=^=f.-,etc. (.)
260 LIVRE m. — CHAPITRE III.
On en conclut, d'après les propriétés connues des proportions,
x* • y* ** __ x* + y% + z* + etc. u
^ 6» 7*~ etC# ~ a» + 6i + ct+ete. af + b* + c% + eto.
x* y* z% x* +y* + ** + etc. t*
— ~" - ■ -ty-f cz + etc. **
ax by
cz
ax +
et par
suite
Vu
Va*
+ etc.'M
Pour s'assurer que cette valeur de u est bien un minimum) il suffit de poser l'équation identique
(a* + 6* + c* ■+■ etc.) (s1 + y1 + zf + etc.) = («a: + fty h cz 4- etc.)1 + (te — ay)% + (cx — az)* +etc.t
qui devient dans ce cas
k% + (bx — ay)% + (ex — az)% + etc.
af + 6f + c* -f etc. '
par où Ton voit qu'en effet l'inégalité
M ai + »,+c1 + ete.
est vérifiée pour toutes les valeurs des variables qui ne satisfont pas aux équations (o).
Si les variables x, y, s, se réduisent à trois et désignent des coordonnées rectangulaires, la valeur minimum de \/u mesure la distance de l'origine au plan
ax + by +cz=zk.
