H suffira de considérer la fonction de deux variables

attendu qu'il n'y a aucune difficulté à généraliser les formules, pour un nombre quelconque de variables. Afin d'opérer le développement de la fonction

suivant les puissances ascendantes des accroissements h et

k, l'on pose

A = «*',* = «*', d'où

f(x+h,y + k) = f(x + «h',y + ak') = U.

On développe la fonction fa par la série de Maclaurin, comme une fonction d'une seule variable, et il vient

fa=f(o) + J.r w+^.rw + ^.rw + etc. (f)

Mais on a, par la règle de différentiation des fonctions médiates,

d.f(x + ah', y + «k') h, a d.f(x + M, y + ,V) v

dx dy

ou , pour employer une notation plus concise ,

dx dy

et de même ,

d%f d*f <Pf

dx* dxdy dy* '

dx* dx*dy dxdy* dy*

etc.;

un a d'autre part

et Ton conclut des équations précédentes :

r(0) = rfc'2 + 2s/tT + **'*,

r (0) = ttA" + 3ioA'**' + 3toAT* + vk»,

etc.

Substituons ces valeurs dans la formule (f), et remettonsy pour h', k' leurs valeurs en fc, & : l'auxiliaire a disparaîtra, et il viendra