u ■ 4- tu — . - -4- t0 -. — • — h t

-4- etc. (F)

On peut remplacer dans cette expression les lettres p, q, r, etc., parles coefficients différentiels qu'elles représentent; et si Ton emploie en outre, pour plus de brièveté, la notation symbolique dont nous nous sommes déjà servi [43 et 124], on obtiendra la formule

qui met bien en évidence la loi du développement, pour un nombre quelconque de variables.

La série deTaylor, ainsi étendue, tombe en défaut lorsque, pour des valeurs particulières des variables x, y, la fonction z et ses dérivées partielles p, ç, r, etc., ou quelques-unes d'entre elles, prennent des valeurs infinies, ainsi qu'on l'a expliqué à propos du développement des fonctions d'une seule variable [106]. De plus, elle tombe en défaut lorsque la fonction z ou ses dérivées partielles prenant des valeurs indéterminées, on ne peut lever l'indétermination que par l'établissement d'une liaison arbitraire entre les variables x, y, et par suite entre les accroissements h et ft, conformément à ce qui a été expliqué dans le précédent chapitre.

1 57. Soit ri la valeur du reste qui doit compléter la série (f ), quand on l'arrête au terme affecté de la puissance a' : on a [109]

« - , .».3...(.-H)-'W" W-Tgfcj- "*" M .

0, Ôt désignant des nombres inconnus, compris entre 0 et