Donc, lorsqu'on arrête la série ( $ ) au terme

\dx+fy) 4.2.3.... i'

le reste R, qui doit compléter cette série, a pour expression symbolique

\dx+ <fy) ' 4.4.3 (t + i) '

ou bien encore

Les nombres 0, 0lf qui entrent dans ces formules, sont inconnus ; et elles rie peuvent point servir à calculer les valeurs de R, , mais seulement à assigner des limites entre lesquelles ces valeurs doivent tomber.

La valeur de ri en intégrale définie étant

264 LIVRE m, — CHAPITRE IV.

on en tirera ces autres expressions symboliques de la valeur deR, :

*miSZMK/.(s*9) '*•/<***-» An*-».»

Pour donner une application de ces dernières formules et en indiquer en même temps la démonstration, prenons t=l , de sorte qu'on ait

fc-f (0) +j. f (0) + r^r, = f*r {«-ft-PP' 1 *J 0

Soit

d'où

r («-«=*•» n*+(—|S) A',^+(«-p)ftT

= A'« f (* + A — h'p, j+ A — if/5) + ih'k,f/(x+h-h'p, y + A- tffl

on aura

+ 2AT /'"/•/ (x + A — h'p, y + k — k'p) .pdp

+ *'s CfAx + h- h'p, y + k-k'p).pdp.

On peut remplacer dans le premier terme de la valeur de R, la variable /3 par p, en prenant pour limite supérieure

de l'intégrale afe'=A, au lieu de a; et alors ce premier terme devient

en sorte que dans son expression n'entrent plus les auxiliaires a, h!j k'. On donnerait au même tenue, en remplaçant la variable j3 par p, la forme A* r* h

et si l'on soumet aux mêmes transformations les deux autres termes de la valeur de R4 , on trouvera pour Rt ces deux expressions

Rl=^/T*{ ^^^ + A— P^h-* — ^)+ 2A*^' <^+* — P> y H- * — 1/3)

On établirait par un calcul semblable les valeurs générales de R< dont on a donné plus haut l'expression symbolique.

158. Désignons par z0 , p0 , q0 , r0 , etc., les valeurs que ' prennent les fonctions z,p9q, r, etc. , quand on fait x = 0, t/=0 : l'équation (F) donnera

X* XV v%

xl x* \ x y* w*

+ TïS+ "Tî-y + "'•ïTi+ ^ôl+etc-'

et, de cette manière, la formule de Maclaurin se trouvera

2d6 LIVRE 01. — CHAPITRE IV

étendue au développement des fonctions de deux variables. On peut encore écrire

+ W; + ^#' 4.2.3 + ^ Au lieu de développer par la formule de Maclaurin les fonctions de plusieurs variables, suivant les puissances de chaque variable indépendante, ce qui conduit à des formes de développement très prolixes, on ne développe plus ordinairement ces fonctions que suivant les puissances de Tune des variables ; mais alors les coefficients des termes de la série, au lieu d'être des constantes, sont des fonctions de toutes les variables indépendantes, autres que celle suivant les puissances de laquelle le développement est ordonné. Ainsi Ton posera

ft?, y, h • • • ) = Ao, y> z y • . • ) + f(o , y, * , - • • ) • j

' + /"(o,**. >o + ^0'**---->-r^ + fl^

f , f9 f", etc., désignant les dérivées de /"par rapport à la variable x. L'emploi de cette formule exigera que les valeurs de y 9 z, , ne rendent point infinies les fonctions

fiO,V, *,-•••), fV>,V, h*"-), f(0, »,*••• •)» «te-»

et, de plus, qu'on puisse assigner des limites convenables à l'erreur que l'on commet en arrêtant la série à un certain terme. Il suit de ces restrictions qu'une formule telle que

pourra ne représenter une surface que dans une portion li-

mitée de son étendue, savoir dans la portion où les valeurs de y ne rendent point infinies les fonctions f(09 y), f' (0, y), f (0,i/), etc.

5 S. Formule de Lagrange pour le développement des fonctions implicites.