Étant donnée une équation de la forme

z=zx + yfz, (a)

on se propose de développer z en série ordonnée suivant les puissances ascendantes de y. Si y désigne une quantité très petite, x sera la valeur approchée de z : une seconde approximation donnera

z = z + yfx, (<0

valeur que Ton pourrait substituer pour z sous le signe f9 de manière à avoir une troisième valeur de z, plus approchée, que Ton substituerait à son tour sous le signe /*, et ainsi indéfiniment. Le développement cherché a pour utilité pratique de dispenser de ces substitutions successives.

Quel que soit l'ordre de grandeur du coefficient y, il est évident que le second membre de l'équation (at) se compose des deux premiers termes du développement que l'on cherche. On trouverait, d'après le théorème de Maclaurin , les coefficients des puissances supérieures de y en prenant les différentielles successives de l'équation (a) par rapport aux variables z, y, et en faisant ensuite y=0, z=x dans les valeurs des dérivées

cfa d*z dkz

tirées des équations différentielles. Il est entendu que la série ainsi obtenue doit être convergente, sans quoi le résultat du calcul serait illusoire. Si Ton considère z comme une fonction* implicite de y, définie par l'équation (a) et ayant

la valeur initiale z=x pour y =0, tant que le module dey reste inférieur au module de la plus petite valeur de t/? pour laquelle l'équation admet des racines égales, la fonctiou z a une valeur unique pour chaque valeur de y, et se développe en série convergente, suivant les puissances ascendantes entières de y. C'est ce qui résulte du théorème de M. Cauchy, sur le développement des fonctions en séries, auquel fait allusion la note du n° 111.

Le procédé général que Ton vient d'indiquer, pour déterminer les coefficients des termes successifs du développement cherché, ne donnerait pas, ou donnerait difficilement la loi de formation de ces coefficients ; tandis qu'on la met aisément en évidence en considérant, suivant le procédé dû à Laplace, z comme une fonction des deux variables x, y, en vertu de l'équation (a).

On a, en différentiant à ce point de vue ,.

dz dz dz dz

et par suite

dz dz d*z d*z fdz\*

dy-fz"di,dl^-rz-d^ + rz-\ai) '

Gela posé, soit tyz une fonction de z : on aura

dx/ <Pz , dz dz

dy • T dxdy dx dy

et en chassant ~ , -^-4- au moyen des équations (6),

^*"3£' d*z fdz\*

dy dx