SÉRIE DE LAGRANGE

Prenons tyz=fz, et la première équation (6), combinée avec la précédente, donnera

*.>•») «Kg

dy% dy dx

Si l'on fait ensuite <{/z=(/*)*, on trouvera, par la comparaison de l'équation (c) avec celle que Von vient d'écrire ,

dy9 dxdy drf '

et comme on peut continuer ainsi de proche en proche , il est évident qu'on a, pour un indice n quelconque ,

dyr dx—1

Quand on fait y=0, d'où *=#, ^ = 1 , cette expression

se réduit à

/dr*\ dr~l.(fx)m

et le théorème de Maclaurin donne en conséquence

160. Soit maintenant <pz une nouvelle fonction de z qu'il s'agit de développer suivant les puissances de y : on aura , en vertu de la première équation (b ) ,

d.fz , dz . . dz dy T dy T ' dx et si Ton pose <f'z.iz=$z, la formule (c) donnera

dy1 dy dx

Î70 LIVRE m. — CHAPITRE IV.

Comme on peut tout aussi bien prendre successivement pour

<j/z les fonctions

,'*.(/*)», f'z.\fz)\ etc.,

il est clair qu'on aura généralement

dy dx—1

et pour les valeurs particulières y=0, z=xt

^ dy /, dx—1

donc

^jar+j. ,*./*+-. — — + ÏXâ- — 2* — +etc- w-

Les formules (d) et (e) sont évidemment susceptibles de s'étendre à des fonctions implicites de deux ou d'un plus grand nombre de variables indépendantes.

161 . La formule (d) s'applique à la résolution des équations, tant algébriques que transcendantes, sous la condition qu'elle conduise à une série convergente. Soit , par

exemple,

x = x + ksr

une équation d'où l'on veut tirer la valeur de z en xf ordonnée suivant les puissances de k : la formule (d) donnera

k If k9

z=x+-.ar+— .2mx*—l + — -- . 3m(3m — 1)«"— «-hetc.

L'équation a des racines égales quand la dérivée par rapport à z est nulle, c'est-à-dire quand on a

mkzm~l — 1=0, d'où