SÉRIE DE LAG RANGÉ

Tant que le module de k est plus petit que cette quantité, la série est convergente. Par exemple, la fonction implicite définie par l'équation

z=zx+kz%

se développe en série convergente pour toutes les valeurs de k dont le module est moindre que t- . Si Ton posait çz=2% on tirerait de la formule (e)

*■ = *" + - .*#"+— l H .n(2ro+n — *)*•■+— *

. w(3ro + n— 4 ) (3m + n— 2) a*"**-* + etc .

Pour de plus amples détails sur les applications de ces formules à la résolution des équations algébriques , on doit consulter le traité de Lagrange.

Considérons l'équation transcendante

% = x -f e sin z

qui est celle d'un problème célèbre en astronomie sous le nom de Problème de Kepler : la variable x désigne le temps ou une quantité qui croit proportionnellement au temps ; le coefficient e mesure l'excentricité de l'orbite elliptique d'une planète, et la variable z est l'angle que l'on nomme Y anomalie excentrique de la planète. Il vient

, e e* d.sin'x , e* cP.sin'a: , A

,=«+-..». + .-— + .-— + flt..,

= x +e sin x + - sin ix + -- (3 sin 3a? — sin a:) + etc. z 8

et comme l'excentricité e est une fraction très petite , au moins pour les planètes principales, la série est très rapidement convergente.

Dans les applications à l'astronomie et à la physique mathématique, on a souvent occasion de considérer le déve-

272 uvre m. — CHAPITRE IV.

loppement de la fonction

\/\— ixy + y*

suivant les puissances ascendantes de y. On donne à ce développement une forme très élégante en se servant du théorème de Lagrange. Posons en effet

|/4-2ry+y* = 4— yz, d'Où

dx i

dx fi— «sy + y1'

Pour faire rentrer cette dernière équation dans la formule (a), il suffit de prendre

d'un autre côté, la série (d) donne par la différentiation dz ..y dfx y* rf*.(/x)' , y» d*.{fx)* , ...

. dH>~* + cdx +rî-~dxT~ +ttâ-~i*~ +e

Donc il vient

1/4— itoy+y' 4.2 dx ' 4.2.8* <te»

y» ^(^ly y- U-.^-iY

T4. 2.3.2» dx* T T4.2.3...n.2- <te"