CHAPITRE. V

NOTIONS SUR LA FORMATION 4)ES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A UNE OU A PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES.

5 4". Des équations différentielles entre deux variables seulement. 162. Lorsqu'on différentie l'équation

/te y) = a, (a)

a désignant une constante, l'équation différentielle du premier ordre

df . df ,

d'oîi la constante a a disparu, exprime une relation entre x9 y, y\ qui subsiste, quelle que soit la valeur particulière attribuée à cette constante dans l'équation (a). Si l'on considère celle-ci comme appartenant à une série de courbes qui ne diffèrent les unes des autres que par la variation du paramètre a, l'équation (a') exprimera une propriété commune à toutes ces courbes : propriété en vertu de laquelle la direction de la tangente est déterminée, lorsqu'on assigne les coordonnées x, y du point de contact. C'est ainsi qu'en différentiant l'équation

a?+y* = a, on a

*+!W' = Û, ouy = .

Tant que le paramètre a reste indéterminé, la première équation appartient à un cercle de rayon quelconque, ayant pour centre l'origine des coordonnées ; et la seconde équation exprime une propriété commune à tous ces cercles cont. i. 48

centriques. celle d'avoir leur tangente perpendiculaire à la droite menée de l'origine au point de contact.

Quand le paramètre a est combiné d'une manière quelconque avec les variables x, y dans l'équation

en général, ce paramètre entre encore dans la composition de l'équation différentielle

dF , dF , . ,.„

mais si Ton opère l'élimination de a entre les équations (b) et (6'), on pourra appliquer à l'équation résultante

/ta?,t/,y') = 0 {c)

ce que nous disions tout à l'heure de l'équation (a') : elle exprimera une propriété dont jouissent en tous leurs points toutes les courbes que l'équation (b) représente successivement, quand on attribue à a une suite de valeurs différentes. Si l'on se donne arbitrairement la valeur de y qui répond à une valeur quelconque de x, la valeur de la constante a se trouve implicitement déterminée : car, soit x0, yo9 ces deux valeurs correspondantes de x et de y, on a entre xof y.}

a l'équation

F(a?0,tf0,a)=0.

La valeur de a qui s'en déduit étant substituée dans l'équation (6), celle-ci représente une courbe déterminée et assujettie à passer par le point (x0, y0).

Après qu'on a déterminé la valeur de a, on peut tirer de l'équation {b) les valeurs de la fonction y qui correspondent à deux valeurs distinctes de la variable indépendante x. La différence de ces valeurs est la somme des accroissements infiniment petits que la fonction a reçus dans l'intervalle ; à moins qu'elle n'ait subi, dans ce même intervalle, des solutions de continuité [51]. On dit en conséquence que l'équa-

tion {b) est Yintégrale de l'équation (c) : celle-ci déterminant la valeur de l'accroissement dy qui correspondent à un accroissement dx, pour chaque système de valeurs de x et de y ; et l'autre déterminant la valeur de l'intégrale ou de la somme de ces accroissements élémentaires dans un intervalle donné.

Puisque les équations (b) et (c) sont équivalentes, en ce sens qu'elles appartiennent à la même série de courbes, on peut déjà conclure de ce qui précède : l°que si l'on se donne arbitrairement l'ordonnée y0 correspondant à une abscisse x0, la fonction y et la courbe dont cette fonction est l'ordonnée se trouveront complètement déterminées en vertu de l'équation (c); 2° que si cette équation différentielle est donnée directement, et qu'il s'agisse de Yintégrer, ou de trouver une équation en x, y qui y satisfasse, l'équation intégrale, pour avoir la môme généralité que l'équation différentielle proposée, doit nécessairement renfermer une constante arbitraire. Nous reviendrons sur ces propositions importantes lorsque nous traiterons de la théorie de l'intégration : notre but en ce moment étant seulement de donner des notions générales sur la nature des équations différentielles.