Soit

F (a>, y, a, b) =0 (rf)

une équation entre les variables x, y, renfermant deux paramètres a, b. Si l'on différentie deux fois de suite cette équation on a les deux équations différentielles du premier et du second ordre, rfF dF

s+si'-*- m

d*x dxdy dy% dy v

qui renferment aussi, en général , les paramètres a, b. On peut éliminer a7 b entre les trois équations (d), (d'), (cT),

et l'équation différentielle résultante

qui est du second ordre, exprime une propriété commune à toutes les courbes auxquelles l'équation (d) peut appartenir, moyennant une détermination convenable des paramètres

Pour particulariser les constantes a, b, on pourrait se donner : 1° un point de la courbe, ou l'ordonnée y0, correspondant à une abscisse x0 ; 2° la direction de la tangente en ce point, ou la valeur y'0 de la fonction y' pour la même abscisse. En effet , ces données entraîneront les deux équations

/tfl\ /dF\

(S)., (S). àésif?imt ce que deviennent g, g

lorsqu'on y fait œ =x0 , y = y0 ; et de ces deux équations on pourra tirer les valeurs de a, b pour les substituer dans l'équation (d).

Au lieu d'éliminer immédiatement les constantes a, b entre les trois équations (d), (d'), (<f ),* on peut éliminer successivement b et a entre les deux premières, ce qui donnera deux équations différentielles du premier ordre

dont Tune appartient seulement aux courbes pour lesquelles a possède une valeur déterminée, b restant arbitraire; tandis que l'autre, par la même raison, appartient aux courbes pour lesquelles b possède une valeur déterminée, a restant arbitraire à son tour.

Tant que a et b conservent leur indétermination, chacune des équations (/*,) et (f%) a la même généralité que l'équation (d) ou que l'équation (c). Ainsi l'on tirera de l'équation

(/*,) en la différentiant, une valeur de y" en œ> y, y, a, qui satisfera à l'équation (e), quelle que soit la valeur de a. Donc, si Ton élimine a entre l'équation (ft) et sa différentielle immédiate

dx r dyy ^dy'y '

on retrouvera l'équation (e); et on la retrouverait également par l'élimination de b entre l'équation (/*,) et sa différentielle immédiate

Enfin, si Ton élimine y' entre les équations (ft) et (£),, on retombera sur l'équation ((f).

Soit, par exemple, Féquation

tf — ax—by—0, (i)

on aura par deux différentiations immédiates .

2a? — a-fy' = 0, (î)

S - fy* = 0, (3)

et ensuite, par l'élimination des constantes a, bt l'équation

du second ordre

x*y" — <tey' + 2y = 0. (4)

Si l'on élimine alternativement les constantes b, a entre les équations (1) et (2), on obtiendra les deux équations différentielles du premier ordre

afy'-fcV — <a0' — y) = 0, (5)

X*+by — bxy'=0, (6)

qui auront pour différentielles immédiates

2a?y' + a?y — 2y - %xyf —ay' + œxf — y') — 0, p) <r(2-ty")=:0; (8)

et l'on retombera sur l'équation (4), soit qu!on élimine a entre les équations (5) et (7), soit qu'on élimine b entre les

équations (6) et (8). Enfin, l'élimination de y' entre les équations (5) et (6) reproduira l'équation (1).

Il faut conclure de cette analyse : l°qu'à une équation* différentielle du second ordre en x, y, y', y", correspondent deux équations de formes différentes en x,y,y' qui y satisfont, ou deux intégrales premières de l'équation du second ordre ; 2° que ces intégrales, pour avoir la même généralité que l'équation du second ordre à laquelle elles satisfont, doivent renfermer chacune une constante arbitraire ; 3° que l'équation en x3 y qui satisfait à Tune quelconque de ces équations différentielles avec toute la généralité requise, et satisfait par conséquent avec la même généralité à l'équation du second ordre, dont elle est Y intégrale seconde, renferme deux constantes arbitraires, savoir: les deux constantes qui entrent dans la composition de chacune des intégrales premières ; 4° que ces deux constantes arbitraires sont implicitement déterminées quand on assigne les valeurs initiales y0, t/'0 correspondant à l'abscisse initiales, ou quand on donne un point par lequel doit passer la courbe dont x7 y sont les coordonnées rectangulaires, et la direction de la tangente en ce point.

164. Il est aisé de poursuivre cette discussion en l'appliquant à des équations différentielles d'un ordre quelconque; et généralement, de ce qu'on peut toujours faire disparaître n constantes dans le passage d'une équation à deux variables à sa différentielle du nd ordre, on conclut que l'intégrale ne d'une équation de cet ordre, ou l'équation en x, y qui y satisfait avec toute la généralité requise, doit renfermer n constantes arbitraires. L'équation différentielle du n* ordre a pour intégrales premières «équations de l'ordre n — 1, renfermant chacune une constante arbitraire ; pour intégrales secondes *^jj ' équations de l'ordre n — 2 , ren-

fermant chacune une combinaison binaire de ces n constantes; pour intégrales troisièmes j~ a 3~ équations

de Tordre n — 3, renfermant chacune une combinaison ternaire des mêmes constantes ; et ainsi de suite. Si l'on élimine y', y", y,f\....y(n^l) entre les n intégrales premières, on aura l'intégrale nê de la proposée, ou l'équation eux, y qui y satisfait, avec les n constantes arbitraires qu'elle comporte.

Ces n constantes seront déterminées implicitement, si Ton assigne les valeurs

y.,y'o,y".,y'"., yt("-1,

pour l'abscisse x0 [34],

On dit qu'une intégrale est générale ou complète, lorsqu'elle renferme des constantes arbitraires en nombre suffisant pour qu'elle conserve le même degré de généralité que l'équation différentielle à laquelle elle satisfait. Cette intégrale générale donne les intégrales particulières, quand on attribue des valeurs déterminées aux constantes arbitraires.

Ainsi l'équation

(y + à) x + a (y — ma1) = 0, dans laquelle a, b désignent des constantes arbitraires, est l'intégrale générale de l'équation du second ordre

(y+mxi)xytr + iyr(j, — xt/)=0. (9)

Si Ton pose successivement a=0, a=oo , on a deux

équations

y + b = 0, y — mx% = 0,

qui toutes deux satisfont à l'équation (9), mais qui n'en sont

que des intégrales particulières : la première ne renfermant

que la constante arbitraire b, et la seconde ne comprenant

plus de constante arbitraire.

Lee n constantes arbitraires comprises dans une intégrale nê doivent être distinctes pour que l'intégrale soit complète. Il est clair qu'au lieu d'une constante arbitraire C on pourrait écrire Ct + Cf ; mais ce binôme, quoique offrant eu apparence deux constantes arbitraires C, et C„ se comporterait , dans toutes les opérations auxquelles on pourrait le soumettre, comme la quantité monôme C dont il tient la place : les deux constantes ne fieraient pas réellement distinctes et se confondraient en une seule. De même l'expression

ne renferme qu'en apparence deux constantes arbitraires distinctes, Ct, Ct; car on peut lui donner la forme (€,€?■• -f-C^)rf"; et tant que les constantes C„ G, restent arbitraires, le facteur C,e"* + CjT* peut être remplacé par une seule constante arbitraire C, sans que l'expression perde de sa généraHté.

"Quand nous disons que l'intégrale compléta a la même généralité que l'équation différentielle qui en dérive ou à laquelle elle correspond, la proposition doit être entendue en ce sens qu'elles représentent l'une et l'autre la même série ou les mêmes séries de courbes : mais il peut y avoir en outre des équations qui satisfassent à l'équation différentielle sans être comprises dans l'intégrale complète ou sans faire partie de la série des intégrales particulières, et qui portent pour cette raison le nom $ intégrales ou de solutions singulières. Nous verrons bientôt ce que signifient géométriquement les intégrales singulières des équations différentielles du premier ordre, et nous reviendrons sur ce point essentiel de là théorie de l'intégration des équations différentielles.

$ 2. Équations différentielles simultanées.

165. li est toujours possible de déduire d'un système d'équations différentielles en même nombre que les fonctions Xj y 7 z, de la variable indépendante t, une

équation différentielle finale entre deux variables seulement, telles que t et x. Du moins la formation de cette équation finale n'est sujette à d'autres difficultés que celles que peut présenter l'élimination entre des équations ordinaires, dans lesquelles n'entreraient pas de coefficients différentiels.

En effet, supposons d'abord que l'on ait deux fonctions x9 y dépendant de t, et deux équations différentielles que nous pourrons représenter par

ft(t ; x, x', a*,... .*<■.>; y, y', y",... . yW) — o,

él\ y(0 désignant, suivant la notation de Lagrange, les

coefficients différentiels -ï, zl . On différentiera n. fois la dv aV

première équation et n fois la seconde ; ce qui donnera,

outre les deux proposées , n-f-Wi équations où le plus haut

coefficient différentiel de y sera y (*+"1) . On éliminer* entre

ces n+ttj+2 équations les quantités

dont le nombre ne peut pas strpasserti -f nâ+l : l'équation résultante ne contiendra que t, x, x', x", «te; et l'ordre (le cette équation résultante ne saurait évidemment surpasser le plus grand des nombres m+nn mt+n.

Admettons maintenant qu'on ait v équations entre la variable indépendante e, les v fonotions a, y, z, et leurs

dérivées des divers ordres par rapport à l : un pareil système est ce qu'on nomme un système d'équations différentielles simultanées. Il pourrait se faire que toutes les dérivées qui

entrent dans le système d'équations simultanées, ne fussent pas prises par rapport à la même variable indépendante t ; mais, au moyen des formules pour le changement de la variable indépendante, on ramènerait toujours le système proposé à ne contenir que des dérivées prises par rapport à la même variable indépendante.

Soient •

X^)f y(-), «(rtf

les plus hautes dérivées des fonctions £,;/,*, qui

entrent dans le système proposé ; et en admettant qu'on

veuille éliminer les variables y, z7 et leurs dérivées,

pour arriver à une équation finale en t, 0, x' , x\ etc.,

posons

$t=n + p + etc.

Si l'on différentie 5 fois chacune des équations du système, on aura, y compris les proposées, un nombre total d'équations exprimé par v(s-H) î d'un autre côté, les quantités à éliminer,

zfz\^9 ..#*">; etc.

sont en nombre

(n + * + <) + (p + * + <) + etc.=« + (s+0(v-<) = v(«+0-*;

et par conséquent l'élimination donnera l'équation finale

cherchée, dont l'ordre ne peut pas dépasser le nombre

m + 8t=sm+n + p+ etc.

Mais rien ne s'oppose à ce que l'ordre de l'équation finale soit moins élevé : ce qui arriverait, par exemple, d'après ce qu'on vient de voir, si l'on n'avait que deux équations entre les variables t, x, y et leurs dérivées, et si les plus hautes dérivées de x et de y se trouvaient dans la même équation. Considérons particulièrement le cas où les équations proposées, étant toutes du premier ordre, pourraient d'ailleurs être mises sous la forme

au lieu de différentier à la fois toutes ces équations, il sera plus simple dfe différentier toujours la même, la première par. exemple, en substituant après chaque différentiation, aux dérivées #', y', *', etc., que cette opération introduit dans le second membre, leurs valeurs données immédiatement par les équations proposées. Après v — 1 différentiations successives, on aura (en y comprenant la première des équations proposées) v équations entre les dérivées

x', x\ , #(V), et les variables t, x, y, z, etc. Il ne

s'agira plus que d'éliminer entre ces v équations les v — 1 variables y, z> etc., pour avoir l'équation finale cherchée.

$ 3. Des équations aux différences partielles.

î 66. Soient données deux équations de la forme

dont la seconde deviendrait une fonction des seules variables x, y, z, si Ton y substituait pour <x sa valeur tirée de la première : on pourra regarder z comme une fonction des deux variables indépendantes x> y ; et si Ton différentie successivement l'équation {g) par rapport à ces deux variables, on aura, en conservant aux lettres />, q leur signification ordinaire,

rfF , rfF rfF/rff ,rff\, A i

dF dF , rfF /dt , di \ , A [ - {g)

On peut éliminer entre les équations (g) et (g') les fonctions <pa, <f'a ; et comme l'équation aux différences partielles du premier ordre [124]

284 LIVRE in. — CHAPITRE V.

qui résulte de cette élimination, est indépendante de la forme de la fonction <p, elle exprime une propriété commune à toutes les valeurs de z en fonction de x, y, que Ton peut tirer de la formule (g), en changeant la forme de la fonction <p, sans changer les fonctions F et f , Conséquemment elle exprime aussi une propriété commune à toutes les surfaces dont l'équation en x} y, z rentre dans l'équation (g), moyennant une détermination convenable de la fonction <p. Soit, par exemple,

a = ax + by, % — pi = 0t OU

% = ? (aw + by) :

les équations dérivées prendront cette forme très simple

p — Of'a z= 0, q — btf'a = 0,

bp — aq = 0. (i)

167. Si l'on a deux équations, l'une aux différences partielles, l'autre ne renfermant que les variables primitives, sans leurs dérivées, mais toutes deux convenant aux mêmes fonctions et ayant le même degré de généralité, la seconde équation est dite Yintégrale générale de la première. Ainsi l'équation (h) est l'intégrale générale de l'équation (i), parce qu'elle renferme, moyennant l'indétermination du signe <p, toutes les équations d'où l'on peut tirer une valeur de z en fonction de a?, t/? propre à vérifier l'équation (i).

La raison de cette dénomination d'intégrale est la même que pour les équations qui satisfont à une équation différentielle ordinaire entre deux variables [162]. Concevons en effet qu'après avoir particularisé la fonction <f, on donne aux variables x, y deux systèmes de valeurs (#0,y0), (#„ yft), et soient z0, zx les valeurs correspondantes de z : on tirera de l'équation (h) la valeur de la différence finie %x — z. ; mais

cette différence finie est la somme ou l'intégrale des accroissements infiniment petits que reçoit la fonction z quand x passe d'une manière quelconque de la valeur a?0àla valeur xi9 et qu'en même temps y passe , aussi d'une manière quelconque, de la valeur y0 à la valeur yt ; sauf toujours le cas exceptionnel où la fonction z éprouverait des solutions de continuité du premier ordre pendant qu'on fait ainsi varier les quantités xy y.

Les équations que Ton tire de l'équation (h) en particularisant la fonction arbitraire ?, sont des intégrales particulières de l'équation (t) ; dans tous les cas, il faut entendre par intégrales particulières celles qui se tirent de l'intégrale générale, quand on particularise une ou plusieurs des fonctions arbitraires que celle-ci doit renfermer, afin d'avoir la même généralité que l'équation aux différences partielles à laquelle elle correspond, ou quand on établit entre ces fonctions arbitraires des relations qui en restreignent la généralité.

Par exemple, si l'on a l'équation

% = ? (a? 4 ay) + f (x — ay), (A)

où <j>, <J> désignent des fonctions arbitraires, et si l'on calcule au moyen de cette équation les dérivées partielles du premier et du second ordre /?, </, r, s, t, il vient :

p = ?'(x + ay) + 1>'{x — ay), q=a?' (x + ay) —a$' (x— ay), r =/(# + ay) + +" (x — ay), s = Of" (x + ay) — a}" (x — ay), tz=a*?'r(x + ay)+at4>" (x-r-ay).

On en conclut cette équation aux différences partielles du

second ordre

qui ne contient plus les fonctions <p, ^, et qui possède, comme la suite le fera voir, autant de généralité que l'équation (k)

d'où elle est dérivée. Réciproquement l'équation (k), qui satisfait à l'équation (t) avec toute la généralité possible, en est l'intégrale générale.

Mais si Ton établissait entre les fonctions cp, ^ ime certaine dépendance : si Ton posait notamment <|tf= — <p* , ou<|tf=<pr*, les équations

% = ? (x + ay) — f {x — ay), % =s ? [x + ay) -*- ? ' (x — ay), dans lesquelles il reste encore une fonction arbitraire y, ne seraient plus que des intégrales particulières de l'équation (/).

Les équations aux différences partielles peuvent avoir aussi, comme les équations différentielles ordinaires, des intégrales ou des solutions singulières ; c'est-à-dire que l'on peut y satisfaire, dans certains cas, par des équations entre les variables primitives, qu'il serait impossible de tirer de l'intégrale générale, en particularisant les fonctions arbitraires que celle-ci renferme. Nous ne tarderons pas à voir des exemples de ces intégrales singulières dans les applications du calcul différentiel à la théorie des surfaces ; et ce sujet sera repris dans la partie du présent Traité où il s'agira de l'intégration des équations aux différences partielles.

168. Une équation aux différences partielles de Tordre n est susceptible d'avoir des intégrales premières de l'ordre n — 1, des intégrales secondes de l'ordre n — 2, et ainsi de suite. Par exemple, de l'équation. du premier ordre

P-Hfc [m)

dans laquelle II désigne une fonction arbitraire, on tirera, en différentiant successivement par rapport à x et par rapport à y,

r=:sl\'q, snfn'jr,

et ensuite, en éliminant n'ç,

rt — sa = 0. (n)

La caractéristique II a disparu de cette équation du second

ordre, à laquelle l'équation (m) est parfaitement équivalente, tant que la fonction II conserve son indétermination. Par conséquent l'équation (m) est une intégrale première de l'équation (n) ; et si l'on pouvait assigner une équation en x, y, z, satisfaisant de la manière la plus générale à l'équation (m), on aurait l'intégrale seconde de l'équation (»).

Or, on satisfera à l'équation (m), non pas à la vérité par une seule équation en se, y, 2, mais par le système de deux équations entre x, y, z et une autre variable auxiliaire a, savoir

Z z= a. -f X ya + y^a, (0)

la seconde étant la dérivée de la première par rapport à l'auxiliaire a. En effet, si l'on différentie l'équation (o) successivement par rapport à # et par rapport à t/, il viendra

P ~ ** + Tx C { + X ?* + y *'*}'

q-ta + ~ W + Xf'a + y+'a),

ou simplement, en vertu de l'équation (o'),

et tant que les fonctions 9, ty sont arbitraires aussi bien que H, le système de ces dernières équations équivaut à l'équation (m).

Le système des équations (0), (o'), renfermant les fonctions arbitraires 9, <J> et une variable auxiliaire a dont on ne peut faire l'élimination tant que les fonctions 9, ^ restent indéterminées, représente donc l'intégrale seconde et complète de Téquation du second ordre (n). Cette forme des intégrales des équations aux différences partielles, lorsqu'il s'agit, comme dans notre exemple, d'équations à deux variables indépendantes, se rattache à des spéculations géo-

métriques très curieuses que nous ferons bientôt connaître, 169. On a vu [165] que l'élimination d'une fonction arbitraire, dans une équation à trois variables, conduit à une équation aux différences partielles du premier ordre : nous en conclurons qu'inversement l'intégrale générale d'une équation aux différences partielles du premier ordre, à trois variables, doit renfermer une fonction arbitraire d'une certaine quantité a, déterminée elle-même en fonction des trois variables. Quand le nombre des fonctions arbitraires à éliminer est plus considérable, l'élimination conduit en général à une équation aux différences partielles d'un ordre plus élevé; mais il n'existe plus alors de rapport déterminé entre le nombre des fonctions arbitraires éliminées, et l'ordre de l'équation aux différences partielles résultant de l'élimination. Réciproquement, on ne peut pas conclure immédiatement, de l'ordre d'une équation aux différences partielles, le nombre des fonctions arbitraires que son intégrale doit renfermer pour être générale ou complète : de la même manière que l'on conclut, de l'ordre d'une équation différentielle à deux variables, le nombre de constantes arbitraires que doit contenir son intégrale générale. Soient

deux fonctions, dont l<i composition en x, y, z est donnée, et qui entrent sous les signes de fonctions arbitraires ç, ty dans l'équation

si l'on forme les équations

d*F ^ cPF ePF

on introduit des fonctions indéterminées <p'«, ^'P, ?"*, +"0î

et en les joignant à cp«, <J> j3 on a six quantités à éliminer entre les six équations (p), (ç), (r) : ce qui ne peut conduire en général à une équation aux différences partielles, indépendante de la forme des fonctions 9, ty. En passant aux dérivées du 3ê ordre, on aura quatre nouvelles équations

et Ton n'introduira que deux nouvelles déterminées <p"'a, <J/"'/3 : on pourra donc former, et en général de plusieurs manières, une équation aux différences partielles du 3e ordre, indépendante de la forme des fonctions cp, <J>, et dont l'équation (p) sera l'intégrale générale. Mais il pourra arriver aussi que l'élimination des fonctions 9, <J/ se fasse sans qu'on ait besoin de passer aux dérivées du 3e ordre, et qu'ainsi l'équation (p) soit l'intégrale complète d'une équation aux différences partielles du second ordre seulement. On en a vu plus haut un exemple sur l'équation (A:).

En général, soit vie nombre des fonctions arbitraires contenues dans une équation à trois variables x, y. z ; la composition de chaque quantité qui entre sous le signe de fonction arbitraire étant donnée en x, 1/, z: si l'on joint à cette équation ses dérivées partielles jusqu'à celles de l'ordre n inclusivement, on a un nombre total d'équations exprimé par

•+i+t+ +.t,&±J>fc±3,

tandis que le nombre des fonctions arbitraires et de leurs dérivées, entrant dans ce système d'équations, est v (»+l). L'élimination ne sera possible dans tous les cas qu'autant qu'on aura

v(w + 4)<(«+<)(n-^onn>8v 8;

c'est-à-dire qu'il faudra en général pousser les différentiations jusqu'à l'ordre 2v — 1 , et que l'équation aux différences partielles, résultant de l'élimination, sera en général de l'ordre 2 v — 1 ; mais elle pourra être aussi d'un ordre moins élevé.

1 70. Considérons maintenant une équation à quatre variables

dans laquelle ? désigne une fonction arbitraire des deux quantités «, (ï, dont la composition enu, x, y, z est connue et donnée par les équations auxiliaires

a = f(u, x, y, %), p=z A (u, x, y, z). En différentiant l'équation (s) par rapport à chacune des trois variables indépendantes x, y, z , on a trois équations

dF -dF A dF A

dans lesquelles figurent, outre la fonction indéterminée ? {a9 P), ses deux dérivées partielles j-, -Â : or, rien ne s'oppose à ce qu'on élimine ces trois indéterminées entre les quatre équations (s) et (t); et l'on obtiendra ainsi une équation aux différences partielles du premier ordre, indépendante de la forme assignée à la fonction arbitraire <p. Nous en conclurons que 'réciproquement l'intégrale complète d'une équation aux différences partielles du premier ordre, h trois variables indépendantes, doit renfermer une fonction arbitraire de deux quantités, ayant chacune une composition déterminée.

Et par une généralisation qui s'offre d'elle-même, nous dirons que l'intégrale complète d'une équation aux différences partielles du premier ordre, à n variables indépendantes, doit renfermer une fonction arbitraire de n — 1

quantités, composées chacune d'une manière déterminée avec les n-f- 1 variables dont il y en a n d'indépendantes. Si l'on avait l'équation

F[«,^y;*,f(^U(7,fl]=o;

il faudrait s'élever au 4e ordre pour opérer dans tous les cas l'élimination des fonctions arbitraires <p,<p et de leurs dérivées : «, ]3, y, S désignant toujours des quantités dont la composition est donnée en u, x, y, z.

171 Le cas le plus simple est celui où les quantités a, j3, . . . . ne contiennent qu'une variable indépendante, par exemple la variable x. Dans ce cas , au lieu de

<p a, 4*j3, on peut écrire simplement yx9 tyx, ;

<p, <J>, désignant toujours des fonctions arbitraires.

Soit donc

V(x,y,z,fx94fx ) = 0

une équation à deux variables indépendantes, dans laquelle

les fonctions arbitraires <p#, tyx. sont en nombre n.

Si l'on différentie n fois par rapport àla variable y, ces différentiations successives n'introduiront pas les dérivées des

fonctions <p, i|> , et l'on obtiendra ainsi n-f-i équations,

entre lesquelles on pourra toujours éliminer les n indéterminées <px, tyx,

De même si Ton avait l'équation

où les fonctions arbitraires y {x,y), ^[x7y)9 sont encore en nombre n, il suffirait de différentier n fois par rapport à la variable z, et l'on aurait des équations en nombre suffisant pour opérer l'élimination de toutes les fonctions arbitraires. Cette élimination se fait alors comme celle des constantes arbitraires dans les équations à deux variables.