CHAPITRE PREMIER
DES TANGENTES, DES NORMALES ET DES ASYMPTOTES DES COUR- BES PLANES. — EMPLOI DES COORDONNÉES POLAIRES,
$ 4". Des tangentes et des normales aux courbes planes. — Différentielle
de l'arc.
172» Dans tout ce qui précède, nous avons eu recours aux constructions graphiques pour faciliter l'intelligence des principes généraux de la théorie des fonctions, et en ce sens nous avons appliqué la géométrie à l'analyse : l'objet du présent livre est, au contraire, d'appliquer les notions d'analyse différientielle dont nous sommes en possession, à la théorie géométrique des courbes et des surfaces. Nous devons nous borner à indiquer ce qu'il y a de fondamental dans cette application importante : car la géométrie supérieure forme à elle seule un corps de doctrine dont les détails ne peuvent se trouver que dans des ouvrages spéciaux.
Le calcul différentiel résout immédiatement le problème de mener des tangentes aux courbes dont on a l'équation : cela résulte de la manière dont nous avons exposé dans le chapitre m du premier livre la génération des fonctions
dérivées* ou des coefficients différentiels. C'est même par suite des efforts qui étaient tentés pour résoudre d'une manière générale le problème des tangentes, que le calcul différentiel a été trouvé ; et on le désignait dans l'origine sous le nom de méthode des tangentes.
Le procédé le plus élégant pour résoudre le problème de mener une tangente à une courbe au point (x,y) consiste à donner l'équation de cette tangente. Désignons donc par Ç, y) les coordonnées courantes de la droite tangente , rapportées respectivement aux mêmes axes et à la même origine que les coordonnées x, y de la courbe. L'équation cherchée sera
du
pour satisfaire à la doublé condition que la droite passe par
le point (x,y) et qu'elle fasse avec Taxe des x un angle qui
tin ait pour tangente trigonométrique -r- -
L'équation de la normale à la courbe, ou de la droite perpendiculaire à la tangente au point (x, y) , est, en vertu d'un principe connu de géométrie,
et on peut lui donner la forme plus symétrique
(* — y) dy 4- (;— x) dx = 0.
En faisant n = 0 dans l'équation de 1b tangente, on a
dx y * — ï«=ït- = -,:
la distance ± (x — Ç) du pied de l'ordonnée au point où là tangente rencontre Taxe des abscisses, se nomme la soustangente. Le double signe a pour objet d'indiquer que Tonne considère dans cette distance que sa grandeur absolue, sang
égard au signe que l'équation précédente donnerait au binôme a? — Ç.
En faisant de même -n = 0, dans l'équation de la normale, on trouve
du
la distance ± (£ — x) du point où la normale rencontre Taxe des abscisses , au pied de l'ordonnée correspondante , se nomme la sou&normale.
L'ordonnée y est moyenne proportionnelle entre la soustangente et la sous-normale.
Quelquefois on entend par tangente et par normale les portions de la tangente et de la normale comprises entre la courbe et l'axe des abscisses. Dans ce sens (qui commence à vieillir), la tangente et la normal^ ont respectivement pour valeurs
Pour chaque courbe donnée, il faudra substituer dans les
formules précédentes les valeurs en a; de i/etdey' = ^-y
tirées de l'équation de la courbe.
Si cette équation est donnée sous la forme
on a
df , àt
et par suite l'équation de la tangente devient . c'est-à-dire qu'on la déduit de l'équation différentielle de
(fl-y)l/+(Ç x)g = 0; («)
la courbe, en y remplaçant les différentielles dx, dy par les différences £ — x, n — y ; ce qui doit être, puisqu'il est permis de considérer la tangente comme le prolongement d'une corde menée par deux points infiniment voisins. L'équation de la normale est
(„-f,g ft^0. (,)
Si Ton regarde dans les équations (6), (c), les coordonnées €,Yi comme des quantités constantes, et x, y comme des coordonnées courantes, ces équations appartiennent à deux lignes qui passent par le point (|, n), et dont les points d'intersection avec la courbe (a) déterminent les tangentes ou les normales à cette courbe, menées par le point (£,*î).
Les équations (b) et (c) ne changeraient pas si l'équation (a) était remplacée par f[x,y)=c, c désignant un paramètre constant que la différentiation fait disparaître. Donc on peut encore considérer les lignes (b) et (c) comme les lieux géométriques des points où des droites qui concourent au point (£, n) viennent toucher ou couper à angles droits les courbes qu'on obtient en attribuant au paramètre c une suite de valeurs particulières.
173. Appelons a,/3 les angles que la tangente forme avec des parallèles s^ux axes des x et des y, menées par le point (x,y)y dans le sens des coordonnées positives : nous aurons
"•^îïr&'^^FFt?' {d)
En appelant X, p. les angles homologues pour la normale, on
obtiendra
COS > =z db — , COS jx =z db — == . Çd)
Les signes adoptés pour ces quatre cosinus doivent être combinés de manière à satisfaire à l'équation
COS « COS \ + COS |3 COS f* = 0,
laquelle exprime, comme on sait, que la tangente et la normale sont perpendiculaires Tune à l'autre.
Lorsque l'équation de la courbe est donnée sous la forme (a), on a
COS a COS J3 1
dy dx v \dx) "*" \dy)
1 74. On entend par la longueur d'un arc de courbe entre deux points donnés, la limite dont s'approche indéfiniment le périmètre d'une ligne polygonale inscrite ou circonscrite à l'arc, et terminée aux mêmes points, quand le nombre des côtés du polygone augmente indéfiniment. Si donc on appelle s la longueur de l'arc d'une courbe, depuis le point (#0,j/a) pris pour origine jusqu'au point (x,y), s sera une fonction de x, qui, par la définition même, satisfera à l'équation différentielle
ds = =b \/dx% + rfy* = ± l/\ +y".dx : (s)
le signe + ou le signe — devant être choisi, suivant que l'arc croit ou décroit pour des valeurs croissantes de x. Au moyen de l'équation (s), les formules (d), (<J) deviennent
^dx A dy dy ,dx
cos «=± — , cosâ= àz~; cosX = ± — ,cos/*=±>--. ds ds ds ds
On dit encore que la longueur d'un arc de courbe est celle de la portion de ligne droite sur laquelle l'arc pourrait s'appliquer exactement, s'il était formé par un fil flexible et inextensible. Mais cette définition (outre qu'elle implique au fond un cercle vicieux) est plutôt physique que mathématique ; et il en faudrait dire autant de toute définition de la grandeur s, où l'on prétendrait éluder l'emploi des limites ou de l'infiniment petit.
Il n'en est pas de même pour l'aire d'une courbe : car,
ayant défini Taire A d'un polygone, on conçoit directement que, si Ton trace dans l'intérieur du polygone une ligne fermée, courbe ou polygonale, on retranche de Aune portion B de cette grandeur ; en sorte que la notion de limite ou d'infiniment petit n'est requise que pour la mesure de la grandeur B, si le contour est courbe, et non pour la définition même de cette grandeur.
Au surplus, voici comment on a coutume de démontrer F équation (s), lorsqu'on ne la prend pas pour la définition même de la grandeur s, dont l'idée est alors censée donnée à priori.
Soit mml (fig. 41) un arc assez petit pour que, dans l'étendue de cet arc, la courbe tourne sa convexité du même côté, ou pour qu'elle ne coupe pas sa tangente entre m et t. On prend pour axiome, d'après Apchimède, que la longueur de Tare mm^ est comprise entre celle de la corde mmi et celle de la ligne brisée enveloppante mtml. Désignons par Ax l'intervalle pp=mr : on a
mt = 1/4 + y'f. &X, mtt = rt — rmt = y1 AOJ — Ay, corde mmi — £/ K 4- ^ • ^o?.
Donc le rapport de la ligne enveloppante à la corde est
r Atf
\/TTT*+y'-fx
et il a évidemment l'unité pour limite : donc aussi le rapport
as
a l'unité pour limite, ce qui établit l'équation ($).
