PRÉFACE. XIII

dant au cas, très particulier en effet, où le coefficient de \/ — 1 s'évanouit, dans l'expression générale des valeurs imaginaires. Cette idée, si éloignée des notions premières, pouvait bien passer d'abord pour n'être elle-même qu'une singularité. Elle demandait à être justifiée par l'expérience, par ce genre d'expérience auquel les idées peuvent être soumises, et qui consiste à montrer qu'effectivement l'ordre s'introduit dans les idées anciennes au moyen de l'idée nouvelle, et que cet ordre est le principe de nouvelles découvertes.

Il me semble aujourd'hui que l'expérience est en voie de s'accomplir pour l'idée dont il s'agit, surtout depuis qu'elle a pris une forme sensible à l'aide d'un système de représentation graphique qui s'offrait tout naturellement. Il s'est trouvé que cette idée relie et explique fort bien, d'une part le théorème sur l'existence et la forme générale des racines des équations, algébriques , d'autre part les règles du développement en séries convergentes, d'autre part encore les cas singuliers du problème de l'intégration ; enfin que la théorie des fonctions elliptiques (l'objet des travaux les plus importants de l'époque, dans le champ de la spéculation mathématique ) , s'y rattache par des liens très étroits. Cette idée a donc des droits désormais acquis à passer, même dans l'enseignement élémentaire, selon la mesure que cet enseignement comporte.

La série des valeurs par lesquelles peut passer une quantité en restant réelle est une série linéaire ou à simple entrée : le tableau des variations possibles d'une valeur imaginaire est à deux dimensions ou à double entrée. Déjà Ton avait remarqué que, pour démontrer de la manière la plus