Donnons quelques applications des formules qui

précèdent. L'équation de l'ellipse, rapportée à son centre et à ses axes, étant de la forme

l'équation (6) deviendra ou bien

ou enfin

L'équation (ftf) est celle d'une autre ellipse qui passe par le point (£,d), et dont les points d'intersection avec l'ellipse (e) sont les points de contact de cette ellipse et des droites venant du point (|, rj).

Si l'on remplace les demi-axes a, b par ca, cb, et qu'on fasse varier la constante c, on obtient une suite d'ellipses concentriques et semblables ; et les points où chacune de ces ellipses est coupée par l'ellipse (bt) , sont ceux où elle serait touchée par des droites parties du point

L'équation {bt) est celle de la droite tangente à l'ellipse (e) au point (x,y)9 quand on y regarde £, to comme les coordonnées courantes ; et lorsqu'on y considère au contraire x, y comme les coordonnées courantes et £, n comme des constantes, cette équation devient celle d'une droite qui coupe l'ellipse en deux points où elle est touchée par des droites venant du point (£, u).

Si l'on fait dans l'équation (bt) -n =0, on a £= ?-; ainsi

la sous-tangente est indépendante de Taxe 2 b , et la même pour l'ellipse proposée que pour le cercle décrit sur l'axe 2 a

comme diamètre. De là on déduit une construction très simple de la tangente à l'ellipse, indiquée dans tous les traités des sections coniques.

L'équation de la normale à l'ellipse proposée est

et l'on en tire, en faisant n = 0,

ce qui exprime que la sous-normale est numériquement proportionnelle à l'abscisse.

L'équation de la parabole ordinaire, rapportée à son axe et à son sommet, étant

y* = 2px,

celles de la tangente et de la normale sont respectivement

La sous-tangente est égale au double de l'abscisse, et la sous-normale est égale au paramètre p, ou au double de la distance du sommet au foyer de la parabole. La tangente et la normale à la courbe logarithmique

y=logs

ont respectivement pour équations

» — y=-(ï — x)9 u— y=ur(x — Ç).

Par la permutation des axes la première équation deviendra

ç-*=-fr— y),

et en faisant maintenant jj=0 , on trouvera x — £= 1 , c'est-à-dire une valeur constante pour la sous-tangente. Ce caractère fournit la véritable définition géométrique de la

courbe, dont on ne donne qu'une définition arithmétique tant qu'on se borne à dire que les abscisses sont les logarithmes des ordonnées correspondantes.

1 76. Parmi les courbes qu'on a appelées transcendantes, parce que leurs équations en coordonnées rectilignes renferment des fonctions exponentielles, logarithmiques ou circulaires, la plus célèbre dans l'histoire des mathématiques, et la plus remarquable à cause de la foule de propriétés curieuses dont elle jouit, est la cycloïde. On appelle ainsi la courbe décrite par un point quelconque M (fig. 42) de la circonférence d'un cercle NMN' qui roule sans glisser sur la droite indéfinie X'X, base delà cycloïde, c'est-à-dire de manière que la longueur d'un arc quelconque MN soit égale à celle de la portion de droite ON sur laquelle tous les points de Parc MN viennent successivement s'appliquer. Menons le rayon CM = R, et soit <p l'angle variable MCN, x = OP l'abscisse du point M, y = PM son ordonnée rectangulaire, l'origine 0 étant le point où M touche la base X'X: on a par la définition

ON = R?, PN = MlmRsin *PM = IN = R(I — cos ?),

a? = R(î>— sin?), (/)

y = R(1 — cos?). il)

Chacune des équations (/) et (g) peut être prise pour l'équation de la cycloïde, l'une étant entre les coordonnées x et y, l'autre entre les coordonnées y et <j>. D'après le mode de description de la courbe, rien ne limite le nombre des révolutions du cercle sur la droite X'X, en arrière et en avant du point 0 : la continuité géométrique exige donc que Fou conçoive la cycloïde comme formée d'une infinité tf arceaux, tels que OMQR, parfaitement superposables. La distance OR des pieds d'un arceau est égale à la longueur de la circonférence du cercle générateur ; l'ordonnée SQ menée par

le milieu de OR est égale au diamètre du cercle et divise l'arceau OQR en deux parties symétriques.

Pour représenter ce mouvement indéfini du cercle générateur, il faut admettre que la variable <p peut être prise tant, positivement que négativement, et que sa grandeur absolue peut atteindre et dépasser un nombre quelconque de circonférences. Or, ceci admis, chacune des équations (f) et (g) représente en effet la cycloïde dans toute l'étendue de son cours, à cause de la périodicité des fonctions sin <p, cos<p, établie en trigonométrie, et résultant d'ailleurs , ainsi qu'on Ta vu [74], de la forme des équations différentielles qui peuvent servir à définir analytiquement ces fonctions. Il y a corrélation exacte entre la génération géométrique de la courbe et la discussion analytique de son équation ; ce qui tient au choix de la variable indépendante <p donnée par le mode même de description de la courbe, conformément à la remarque du n* H .

Supposons maintenant qu'on veuille avoir l'équation de la cycloïde entre les coordonnées rectangulaires x, y : on tirera de l'équation {g)

cos f = -^, d'où sin ? = ± * * ,

le radical devant être pris positivement ou négativement, suivant que la valeur de Tare <p donne à sin <p, d'après les règles de la trigonométrie, une valeur positive ou négative. L'équation entre xeïy sera

x = R arc cos (— j^) TV**y— y'i (*)

mais à chaque valeur de x ne correspondra que l'une de3 valeurs, en nombre infini, dont l'expression

R arc cos

est susceptible, et en outre les deux signes du radical ne devront pas être employés simultanément. Il faudra prendre le signe supérieur quand le point fa y) appartiendra à Parc OQ, et le signe inférieur quand le point appartiendra à Tare QR, en opérant la même permutation de signes, chaque fois que Ton passera par le sommet ou par le pied d'un arceau. Si l'on employait simultanément les deux signes, l'équation (h) représenterait le système de deux cycloïdes inversement disposées (fig. 43), que leur génération géométrique ne lie point Tune à l'autre ; et la corrélation habituelle entre la géométrie et l'analyse (telle qu'on l'observe, par exemple, pour les sections coniques) se trouverait en défaut. Nous reviendrons plus loin sur le principe et sur les restrictions de cette correspondance entre les formules analytiques et les lois géométriques de la description des lignes.

177. Pour déterminer la tangente à la cycloïde, on pourrait différentier l'équation (h) ; mais il sera plus simple de retenir la variable <j> et d'opérer sur les équations {f) et (g), ce qui donnera

dx = R (1 — cosy) dff, dy = Rsiny rfy, et par suite

dy __ siny l^RFV = + t/âR^ dx 4 — cos? ~ y ' "" ^ y

Cette valeur devient nulle quand y=2 R, ce qui arrive aux sommets des arceaux, et infinie quand y s'évanouit. Les pieds des arceaux sont donc des points de rebroussement, où la tangente devient perpendiculaire à la base de la cycloïde. On a pour la valeur de la sous-normale

l/2Ry — y* = R sin ? .

Ainsi la normale M N à la cycloïde coupe la base X'X au point N où cette droite est touchée par le cercle générateur, et la tangente TM va passer à l'autre extrémité N' du diamètre