ASYMPTOTES DES COURBES PLANES
perpendiculaire à la droite XX. On a en conséquence, pour la longueur de la normale MN, cette valeur très simple dont nous nous servirons plus loin,
MN = v/«Ry. (A')
On peut remarquer que la longueur MN décroît de plus en plus dans le voisinage du point 0, quoique la normale s'incline de plus en plus sur Taxe des x.
$ 2. Des asymptotes des courbes planes.
1 78 . On appelle asymptote d'une courbe plane une droite dont un point mobile sur la courbe s'approcherait indéfiniment, sans jamais l'atteindre : de manière que la perpendiculaire 9 abaissée de ce point sur la droite tombât au-dessous de toute grandeur finie, sans jamais s'évanouir ; et pour cela il faut que la branche de courbe sur laquelle on conçoit le point en mouvement, s'éloigne à l'infini.
La différence des ordonnées de la courbe et de son asymptote, pour la même abscisse, étant égale au quotient de d par le cosinus de l'angle de l'asymptote avec l'axe des x, converge vers zéro quand x converge \ers une valeur infinie. En même temps, l'angle de la tangente à la courbe avec l'axe des x converge vers une limite, qui est la valeur de l'angle formé par l'asymptote avec le même axe.
L'équation (b) deviendra celle d'une asymptote, si la supposition de x ou de y infini y fait évanouir tous les termes qui renferment ces variables, de manière que l'équation ne contienne plus que les coordonnées courantes £,* et des paramètres constants. En conséquence , on substituera dans . cette équation la valeur de y en x tirée de l'équation delà courbe; puis on fera x=+oo , ce qui donnera toutes les asymptotes non parallèles à l'axe des y. On trouvera ces der-
nières en substituant la valeur de x en y, et en faisant ensuite y=±<x> .
Si nous prenons l'équation de l'hyperbole rapportée à son centre et à ses axes, savoir
nous aurons pour l'équation de la tangente,
Par la substitution de la valeur de y en x cette équation devient
l±:v/Tn=l.
a* b a9 x* x' et quand on y fait #=+ao , elle se réduit à
a équation double, qui donne celles des deux asymptotes de l'hyperbole, comme on Ta vu en étudiant les sections coniques.
L'équation de la tangente à la logarithmique y=loga; étant
la supposition #=+oo ne donne point d'asymptotes, après qji'on y a substitué pour y sa valeur en x ; mais si l'on y substitue au contraire la valeur de x en y, cette équation devient
et quand on y fait y = — oo , elle se réduit à £=0 : par con- . séquent l'axe des y est une asymptote de la courbe.
La méthode précédente demande à être modifiée dans le cas où l'équation de la courbe n'est pas résoluble par rapport à y ou à x. Soit
y = mx -(- n l'équation d'une asymptote non parallèle à Taxe des y : on en tirera
de sorte que, quand x convergera vers l'infini, la valeur du
rapport | convergera vers la constante m. Donc, si Ton fait
dans l'équation de la courbe #=«#, et qu'on cherche la limite de la nouvelle variable «pour x=+oo y cette limite, quand elle existera, sera une valeur de la constante m. Si l'on fait ensuite, dans l'équation d&la courbe,
et qu'on cherche pareillement la limite vers laquelle converge la variable (3, quand x converge vers les valeurs +00 , cette limite sera une valeur de la constante n.
On trouvera de cette même manière les asymptotes non parallèles à l'axe des y.
Prenons pour exemple le folium de Descartes {fig. 44),
dont l'équation , déjà discutée sous un autre point de vue
[152], est
x9 -— 3axy + y* = 0 :
l'équation en a, x devient
d'où l'on conclut, pour la limite de a, m= — 1. Faisant ensuite y + x = $ , on a, pour l'équation en {3 , a?,
ce qui donne, pour la limite /3 , n = — a. En conséquence, la droite y + x + a = 0 est une asymptote de la courbe proposée.
$ 3. Emploi des coordonnées polaires.
179. On passe de l'équation d'une courbe en coordonnées rectangulaires, à son équation en coordonnées polaires,
en posant
x zz r cos y, y = r sin y :
r désigne alors le rayon vecteur mené de l'origine des coordonnés (qui prend le nom de pôle) au point {x, y), et 5 l'angle formé par ce rayon vecteur avec le demi-axe des x positifs. On tire de ces équations
dx = dr cos ? — rsin? d?, rfy= dr sin y + r cos ? dp, (0
et par suite
dr . dy
dx dr ' dro " dy
— — rtangy » — — tang ?
Mais, si l'on appelle 0 l'angle de la tangente au point [x, y) avec Taxe des x, dans le sens des x positifs, on a
dy dr 4 -4- tang 0 . tang * , %
/ = tang ©, — = - f— ^I=:cot(ô — ?). j)
dx rdy tang 6 — tang ?
L'angle 0 — <p est celui que la tangente à la courbe forme avec le rayon vecteur du point de contact : on peut donc calculer cet angle par la formule ( j ) et construire la tangente, quand l'équation de la courbe est donnée en coordonnées polaires. Si l'on mène par le pôle une perpendiculaire au rayon vecteur, elle coupera la tangente en un point dont la distance au pôle est
p = r tang (0 — ?) = r» ~. (*)
Par analogie on donne quelquefois à la ligne p le nom de sous-tangente.
La formule (j) se démontre directement par une construction très simple. Soient m9mi (fig. 45) deux points d'une courbe infiniment voisins, de manière que la droite m t, tangente à la courbe en m, puisse être prise pour le prolongement de l'arc infiniment petit mmt. 0 est le pôle, et OX la droite à partir de laquelle les angles <p sont mesurés. Si l'on décrit du rayon Om l'arc de cercle infiniment petit wt/x, on aura rafx = rd<p, fxmt=rfr: on pourra regarder wifx m, comme un triangle rectiligne et rectangle en p, ce qui
donnera
dr tang pmml =-3-.
rd?
Mais on peut aussi regarder le secteur infiniment petit 0 m (x. comme un triangle rectangle en m, d'où
tang ftm m, = cot (0 — y) .
1 80. La longueur s d'un arc de courbe, mesurée à partir d'un point fixe pris sur la courbe, étant une grandeur dont la définition ne dépend pas du système de coordonnées qu'on emploie, il suffit, pour obtenir l'expression de ds en coordonnées polaires, de substituer à dx et à dj/, dans la formule
ds% — dx1 + dy*,
leurs valeurs tirées des équations (t), ce qui donne
ds» = dr* -h r» d?\ (/)
La construction précédente donne aussi ce résultat très directement, puisqu'elle conduit à considérer mm^ comme l'hypoténuse du triangle mpm^ rectangle en p.
On entend par Taire d'une courbe, rapportée à des coordonnées polaires , l'espace compris entre cette courbe , un rayon vecteur fixe, et le rayon vecteur mobile Om. Ainsi, quand le rayon vecteur mobile passe de la position Om à la position infiniment voisine Om,, l'aire que nous appellerons
u, augmente de la surface du triangle infinitésimal 0 m m1? dont on peut considérer Orn, comme la base et m y. comme la hauteur. On a donc
du = \ (r + dr) rd?9 et en négligeant Tinfiniment petit du second ordre,
duz={rÈdf. <m)
La différentielle de Taire, mesurée de la même manière , mais exprimée en coordonnées rectangulaires, est
du = { (xdy — ydx) ; ce qui résulte de ce qu'on a
A cause de l'importance des formules (m), (n) en mécanique et en astronomie , on peut désirer d'en avoir une démonstration par les limites. En conséquence , remarquons que lorsque le rayon vecteur se transporte de 0 m en 0 m,, les variables r et <p augmentant de Ar, A<p , Taire reçoit Taccroissement Au égal à la surface du secteur Omm,. Or, Taire de ce secteur est comprise entre celles de deux secteurs circulaires de même angle, ayant pour rayons, Tun r, Tautre r+Ar; c'est-à-dire que Ton a, Ar étant supposé
positif,
Au > { r* Ay, Au < i (r + Ar)f A?.
Mais le rapport
Hr+*r)'Ay
ir'A?
a l'unité pour limite, quand A<j>, Ar convergent vers zéro: donc le rapport
AU
a aussi Tunité pour limite ; ce qui établit l'équation (m).
181. Lorsque l'équation d'une courbe en coordonnées polaires est de la forme r=/\p, fy étant une fonction qui reste réelle pour toutes les valeurs réelles de <p, et qui croit ou décroît indéfiniment avec <p, la courbe prend le nom de spirale : elle coupe en une infinité de points chaque droite menée par le pôle ; et l'arc compris entre deux intersections consécutives de la courbe par le même rayon vecteur prend le nom de spire. D'ailleurs, les propriétés géométriques de ces courbes ne sont guère qu'un objet de pure curiosité.
La spirale (FArchirnède est celle dont l'équation
a la forme la plus simple. On peut concevoir qu'elle est décrite par un point m (fig. 46) qui se meut avec une vitesse constante sur une droite mobile MN passant par le pôle 0, tandis que la droite MN tourne elle-même autour de 0 avec une vitesse angulaire constante , c'est-à-dire , en décrivant des arcs égaux en temps égaux. Il faut admettre aussi que, quand le point m passe par le pôle, la droite mobile MN coïncide avec la droite fixe OX, à partir de laquelle les angles cp sont mesurés.
On peut toujours supposer positif le paramètre a qui mesure la longueur que le point m parcourt sur la droite MN, tandis que cette droite décrit un angle qui est à deux angles droits dans le rapport de 1 à p. La constante a étant positive, r deviendra négatif avec <p ; et il est évident, d'après la loi du mouvement, que les valeurs négatives du rayon vecteur devront être mesurées en sens inverse des valeurs positives. Ainsi, lorsque OM fait avec OX l'angle positif MOX, le rayon vecteur sera mesuré de 0 en m ; mais auparavant OM avait fait avec OX l'angle négatif M'OX, et alors le point mobile m se trouvait en m', de sorte que le rayon Om' doit être mesuré en sens contraire de OM'.
La spirale cTArchimède comprend donc deux systèmes de spires inversement disposés, et qui se raccordent à F origine : si l'on supprimait un de ces systèmes en arrêtant brusquement la courbe à l'origine , on n'aurait point égard à la loi de continuité dans le mouvement composé d'où résulte la description de la courbe.
L'équation de cette spirale donne
tàng(0— f)=^ = y, a
en sorte que la courbe touche à l'origine la droite OX. On a aussi, d'après la formule (ft),
rf
Soit R=2o7r, de manière qu'à chaque révolution du point décrivant, le rayon vecteur augmente de R : il viendra
ce qui donne la valeur très simple, trouvée par Archimède,
p=27rR, lorsque ?=27r.
On nomme spirale hyperbolique {fig. 47) celle qui a pour
équation
d'où
tang($— ?)= — f.
Cette courbe décrit une infinité de révolutions autour du pôle dont elle s'approche indéfiniment sans jamais l'atteindre, puisqu'il faudrait donner à y une valeur infinie pour que r s'évanouit. Elle a pour asymptote la droite dont l'équation en coordonnées rectangulaires serait y=a, le demiaxe des x positifs étant la droite à partir de laquelle on mesure les angles <j>. En effet, l'équation (p) devient dans ce
système de coordonnées
sin»
ce qui donne t/=a, pour <p=0.
Si Ton a égard aux valeurs négatives de y et que Ton construise les valeurs négatives de r qui leur correspondent, ainsi que nous l'avons indiqué pour la spirale d'Archimède, la spirale hyperbolique aura deux branches symétriques. Mais comme il existe toujours une solution de continuité entre les deux branches ainsi construites, cette extension donnée à la construction de l'équation (p) reste purement conventionnelle et ne dérive par (de même que pour la spirale d'Archimède) de la nécessité de maintenir la continuité du mouvement en vertu duquel la courbe est décrite.
La spirale logarithmique est celle qui a pour équation
4 , f = — logr, our = e»?:
elle fait, comme la spirale hyperbolique, une infinité de révolutions autour du pôle , sans jamais l'atteindre , mais elle n'a pas d'asymptote. La formule ( j) donne pour cette
courbe.
cot ($ — y) = m;
ce qui exprime que le rayon vecteur forme avec la tangente un angle constant, propriété remarquable et qu'il convient de prendre pour la définition géométrique de la courbe [175].
