CHAPITRE II

182 Soit

F équation d'une série de courbes, en nombre infini, qui ne

diffèrent que par la valeur du paramètre a [162], et

Téquation différentielle qui convient à la même série de courbes, laquelle s'obtient par l'élimination de la constante a entre l'équation (a) et sa dérivée immédiate : il peut se faire que les courbes de la série ne se rencontrent point, quelque voisines que soient les valeurs données consécutivement au paramètre a. Ce cas se présente toutes les fois qu'on ne peut tirer de l'équation (b) qu'une seule valeur réelle pour yf, quelles que soient les valeurs réelles attribuées à a: et à y : puisque, si plusieurs des courbes de la série (a) se coupaient en un point (x0,y0)y les valeurs x„y0 devraient donner à y' autant de valeurs différentes qu'il y a de courbes qui se coupent en ce point, ayant chacune leurs tangentes au point d'intersection diversement inclinées sur l'axe des abscisses.

Si, par exemple, on pose #*-|-y* — a=0, les courbes delà série sont des cercles concentriques qui ne peuvent avoir de points communs, quelque valeur qu'on assigne à la différence des rayons. L'équation (b) devient x+yy'=0 et elle ne donne à y', comme cela doit être , qu'une seule valeur réelle, pour toute les valeurs réelles àex et de y.

A la vérité, pour #=0,y=:0, la valeur de y se présente sous la forme indéterminée £ ; mais en appliquant la mé-

thode du n° 142 à la recherche de la vraie valeur de y\ on tombe sur l'équation t/'2=— 1, dont les racines sont imaginaires.

Il peut arriver aussi que les lignes comprises dans la série* (a) se coupent toutes en un même point; et ceci doit avoir lieu lorsque les valeurs des coordonnées de ce point donnent à y\ en vertu de l'équation (b), une valeur réellement indéterminée. Ainsi l'équation y — ax=0 appartient à une série de droites qui se coupent toutes à l'origine des coordonnées; et l'équation (b) devenant dans ce cas y'x — y=0, on trouve que l'indétermination de y', pour les valeurs x=0,t/:=0, ne peut être levée.

183. Au contraire, si l'équation (b) est telle, qu'elle donne à y' plusieurs valeurs réelles , pour une infinité de systèmes de valeurs réelles de x et de y, les courbes de la série (a) se coupent en un ou plusieurs points. Pour plus de simplicité nous admettrons que deux courbes prises dans la série n'ont qu'un seul point d'intersection : cette supposition ne changera rien à l'analyse et facilitera les raisonnements.

Désignons par a et par a-\-Aa deux valeurs distinctes du paramètre : les courbes qui correspondent à ces valeurs particulières ont pour équations

les coordonnées du point d'intersection sont les valeurs de x, y, tirées du système de ces deux équations. Ces coordonnées varieront, et le point se déplacera sur la première courbe quand on prendra Aa de plus en plus petit. Passons à la limite en supposant Aa infiniment petit : l'équation (at) deviendra

F (xiyJa) + — da = 0;

3 i 4 UVRE IV. — CHAPITRE H.

en sorte que le système des équations (a), (aj sera remplacé par

dF .

rf-a = 0î

et les valeurs de x, y, tirées de ce nouveau système, seront les limites dont s'approchent indéfiniment les valeurs des mêmes coordonnées, tirées du système (a), (aj, quand on fait décroître indéfiniment Aa.

En d'autres termes, le point (#, y) ainsi déterminé est le point d'intersection des deux courbes infiniment voisines qui ont respectivement pour équations

F (a?, y, a) = 0, F {x,y,a + da)=:0.

Ce point se déplace quand on change la valeur du paramètre ; il décrit sur le plan une ligne continue quand on fait varier ce paramètre sans discontinuité ; et d'après les premières notions de la géométrie analytique , l'équation de

cette ligne

s'obtient par l'élimination de a entre les équations (a), (a'). La ligne (a) jouit d'une propriété remarquable, celle de toucher toutes les lignes de la série (o). Effectivement l'équation (a) n'est autre chose que l'équation (a) où l'on a mis pour a sa valeur en fonction dex, y, tirée de l'équation (a'). On peut donc, au lieu de difiérentier immédiatement l'équation (a) pour déterminer la tangente à la courbe que cette équation représente, différentier l'équation (o) en y regardant la quantité a, non plus comme un paramètre constant, mais comme une fonction des variables x,y, ce qui donne (la variable y étant elle-même une fonction de x) d¥ , dF . d¥ fda da\

ou plus simplement

puisque l'expression en x, t/, qu'il faut substituer pour a, est précisément celle qui satisfait à l'équation (a').

Donc, pour le point commun aux deux courbes (a), (a), la dérivée y' a la même valeur, quelle que soit celle des deux courbes que l'on considère, ce qui revient à dire que les deux courbes ont en ce point une tangente commune, ou se touchent mutuellement.

On donne aux courbes delà série (a) le nom d'enveloppées, et à la courbe («) le nom d'enveloppe, parce qu'elle touche ou enveloppe toutes les courbes (a).

On donne aussi à la courbe enveloppe le nom de ligne de contact, parce qu'elle est le lieu des points de contact de deux enveloppées infiniment voisines ; ou (ce qui signifie la même chose) parce que le point d'intersection de deux enveloppées de plus en plus voisines, se rapproche indéfiniment de la ligne enveloppe, en même temps que les tangentes des deux enveloppées au point d'intersection tendent indéfiniment vers la coïncidence.