Pour fixer les idées par un exemple, prenons l'équation

y = ax 8p~ '

qui est celle delà parabole que décrirait dans le vide un point matériel pesant, lancé de l'origine des coordonnées sous l'angle de projection dont la tangente est a, les ordonnées!/ étant mesurées verticalement du bas en haut (!). Si Ton fait varier sans discontinuité l'angle de projection et par suite le

(') Traité de Mécanique, par M. Poisson, 1. 1, p. 397.

paramètre a, on obtient une infinité de paraboles dont l'enveloppe a pour équation, d'après les formules ci-dessus,

*i = 8Jp(|— y),ou/^-^y— a» = 0; (7)

de sorte que cette enveloppe est une autre parabole, ayant son foyer à l'origine (fig. 48).

Il peut arriver que l'enveloppe («) touche les courbes comprises dans une portion de la série (a) et ne touche pas celles des courbes (a) qui appartiennent à une autre portion de la série. Imaginons que le centre d'un cercle de rayon variable se meuve sur l'axe des abscisses (fig. 49 ), de manière que l'abscisse OP du centre de ce cercle et son rayon P M soient l'abscisse et l'ordonnée de l'ellipse ABÀ'B' quia pour équation

l'équation commune à la série des cercles dont il s'agit, est

(*-«)« + y«-^(ro«-a»):=0, a désignant l'abscisse du centre ; et de là on déduit

mr + n

pour l'équation de la courbe enveloppe, qui est une autre ellipse «Ba'B', concentrique avec la première, ayant le même axe BB' et l'axe a a' > A A'. Or, pour toutes les valeurs

de a comprises entre 1/2,1 et m, les cercles infiniment

voisins ne se touchent plus et ne touchent plus l'ellipse enveloppe; puisque le système des équations (a), (a!) donne

d'où résulte pour y une valeur imaginaire dès que a surin*

185. Quand une ligne est donnée par une équation F (a?,», M) = 0, dans laquelle entrent deux paramètres a, b, on peut se proposer d'établir entre a, b une liaison telle, que les enveloppes engendrées par la variation continue du paramètre a, aient pour enveloppe une ligne donnée

Dans ce cas, les dérivées de F et de <p devant donner pour y' la même valeur, on a', en éliminant y* entre ces dérivées,

dF df dF d?

dx ° dy dy'dx

après quoi, l'élimination de #, y entre les trois équations que Ton vient d'écrire, conduit à l'équation cherchée entre les paramètres a, b.

Soit, par exemple,

y * H- 2 ax + b = 0

l'équation d'une parabole dont le grand axe coïncide avec

celui des x, et

l'équation d'un cercle qui doit devenir la ligne de contact de toutes les paraboles représentées par la première équation, quand on y fera varier a, après avoir établi une liaison convenable entre a et b : on a, endifférentiant ces deux équations,

yif + a — 0, fl + TO' = 0,

d'où x = a. Cette valeur de x, substituée dans l'équation de la parabole et dans celle du cercle, donne

jf + »af+*-0, ij' + a1 — r* = 0;

et par suite

en sorte que l'équation des enveloppées, où le paramètre a reste arbitraire, prend la forme j

y1 + 2ax — (a* + r*) = 0.

186. H peut se faire que l'enveloppe soit une des enveloppées, ou que l'équation de l'enveloppe se tire de l'équation générale des enveloppées, par l'attribution d'une valeur déterminée au paramètre variable. C'est ce qui arrive lorsque la valeur de a en fonction de x, y , tirée de l'équation (a). se réduit, en vertu de l'équation (<%) propre à l'enveloppe, à une valeur constante, qui pourrait être zéro ou l'infini. Prenons, par exemple, pour l'équation des enveloppées (3» + y* — r») (a?1 — 2ar) + (y* — r*) ûf = 0 : nous tirerons de l'équation (a')

x(xt + yt — r»)

et cette valeur de a, substituée dans la proposée, donne pour l'équation de l'enveloppe

Or celle-ci rend nulle la valeur de a fournie par l'équation précédente ; et en effet, il est clair que l'équation de l'enveloppe se tire, dans ce cas particulier, de l'équation générale des enveloppées, par l'attribution au paramètre a de la valeur particulière zéro. Mais, en général, les variables x, y. ne disparaissent point de la valeur de a tirée de l'équation (a'), et par suite l'enveloppe n'appartient pas à la série des enveloppées.

Ceci rend raison, au moins en ce qui concerne les équations différentielles du premier ordre, de l'existence de ces

intégrales ou solutions singulières, dont il a été question au n° 1 64. Il est clair que l'équation (a) est l'intégrale générale de l'équation (b) ; que la série des enveloppées correspond à la série des intégrales particulières ; et que l'intégrale singulière de l'équation (b) est l'équation («) de l'enveloppe, qui, en général, ne coïncide pas avec l'une des enveloppées, bien que son équation satisfasse aussi à l'équation (6), puisqu'on en tire pour y' une valeur en a?, y , identique avec celle qui se tire de l'équation (a), après qu'on a chassé de celle-ci le paramètre a.

187. Les deux enveloppées qu'on obtient en attribuant au paramètre a les valeurs distinctes a, a -J- Aa, ont en général un point d'intersection [1 83] ; et pour les valeurs de x, y qui appartiennent à un point d'intersection, la valeur de a en fonction de x, y, tirée de l'équation (a), est au moins double, puisqu'il doit y avoir une valeur de a correspondant à chacune des enveloppées qui se coupent en ce point. Mais sur la ligne même de contact il n'y a plus d'intersection ; d'où il faut conclure que plusieurs des valeurs de a en fonction de #, y, tirées de l'équation (a), deviennent égales pour les valeurs de x, y qui satisfont à l'équation de ligne de contact. Ainsi l'équation (c) donne

et les deux valeurs de a deviennent égales pour les points situés sur la ligne enveloppe (7). Or, on sait, par la théorie des équations algébriques, que l'équation (a') exprime précisément la condition pour que l'équation (a), censée algébrique et rationnelle par rapport à l'inconnue a, acquière des racines égales.

Si l'équation (a) a été résolue par rapport à a, et mise sous la forme

il faut concevoir que l'équation (a) est multiple, à cause des radicaux qui entrent dans sa composition et des doubles signes qu'ils entraînent avec eux, de façon qu'elle équivaut à plusieurs équations distinctes

« —fi (*> y) œ 0, a — ft {x, y) = 0, etc. (a,)

Ainsi Féqualion (c) donne par la résolution ces deux équations distinctes

a=j>-^p*-*ry-*?. (e)

L'équation (c,) subsiste pour tous les points de la parabole enveloppée situés sur la portion raO de la courbe {fig. 48) ; et l'équation (c,) subsiste à son tour pour tous les points situés sur la portion mn. En effet, le binôme ax — p, dont le premier terme représente l'ordonnée variable de la tangente Qt, et dont le second terme est une constante égale au paramètre de la parabole enveloppe, est évidemment négatif quand x s'évanouit; il diminue numériquement de valeur pour des valeurs croissantes de x, jusqu'à ce qu'il s'annule quand x devient l'abscisse du point de contact de l'enveloppe et de l'enveloppée ; après quoi, la valeur de x continuant à croître, il prend nécessairement une valeur négative.

188. Lorsque l'équation (a) a été mise sous la forme (a), l'équation (à) se réduit à 1 = 0 ; résultat absurde, qui ne peut donner l'équation de la ligne enveloppe. Ceci provient de ce qu'en effet, comme on vient de le voir, les portions de courbes représentées par l'une des équations (at) n'ont plus de points d'intersection. Mais il faut remarquer que, si l'on substitue pour a sa valeur f (x, y) dans l'équation (a), celle-ci deviendra identique, ainsi que ses dérivées par rapport à x

et à y, en sorte qu'on aura identiquement dF , dF di dF t dF dî

dx da dx dy da du

di __*F .«[F dJ__dFdF dx dx'dady dy'da

Or, la relation entre x, y, qui est l'équation de la ligne en-

veloppe, fait évanouir-^, quand l'équation (a) a été déli-

vrée de radicaux : donc elle doit rendre infinis £î-, -ri ; ce

qui fournit un moyen de trouver l'équation de l'enveloppe, même lorsque l'équation des enveloppées se Irouve résolue par rapport à a. Ainsi, quand on prend pour f la valeur tirée de l'équation (c), il vient

rff ± p* ± Zpy—pl/p1 — fyy — x1

dx x* [/p* — 2py — x% '

di p

dy *V p* — ipy — x*

et Ton retrouve l'équation de l'enveloppe (y) par la condition que ces valeurs deviennent infinies.

Le raisonnement qui conduit à cette conséquence peut encore être présenté sous la forme suivante.

Lorsque Ton différentie successivement l'équation (a) en y considérant la quantité a, d'abord comme une constante, puis comme une fonction des variables x9 y, on a [183]

Tx+yTy-»>

dF , dF , dF (da , ,da\ A

di + yd-y+da{di+yTy) = ^

d'où

y ~~dx'dy' t. i. 21

V ~ dxldy Ta\di + l ldy)ldyl

et ces deux valeurs de y' coïncideront, si Ton détermine a en fonction de x, y7 de manière à vérifier Tune ou l'autre des deux équations

dF dF

da dy

Quand la fonction F est une fonction algébrique, délivrée de radicaux et de dénominateurs, la seconde de ces équations ne peut pas avoir de solutions ; mais en général, les diverses transformations auxquelles on soumet l'équation (a), en faisant apparaître ou disparaître des dénominateurs ou des radicaux, ont pour effet d'introduire dans l'une de ces deux dernières équations les solutions qui disparaissent de l'au-

dF tre. D'ailleurs, lorsque la dérivée -*- devient infinie, il faut

dF qu'en général la dérivée ^ devienne aussi infinie, sans

quoi la dérivée y' serait constamment nulle.

189. Rien ne s'oppose à ce que les enveloppées soient des lignes droites, ou à ce l'équation (a) ait une forme linéaire par rapport aux variables x, y : dans ce cas, le système des enveloppées se confond manifestement avec le système des tangentes de la courbe enveloppe.

L'équation (a) étant linéaire en x, y, aura la forme

mais on peut changer de constante arbitraire et poser ^a=c, ce qui donne à l'équation précédente la forme plus simple

y = cx+ $c; l'équation (b) devient dans ce cas

y = xy' + W-

On peut prendre pour système d'enveloppées le système des droites normales à une courbe donnée : mais alors les relations de la courbe enveloppe avec la courbe primitive donnent naissance à une théorie fort importante, qui mérite une étude spéciale, et dont l'exposition est l'objet du chapitre suivant.