DES CONTACTS DES DIVERS ORDRES ENTRE LES LIGNES PLANES

$ 4". Théorie des développées et des rayons de courbure des courbes

planes.

190. Désignons, comme dans l' avant-dernier chapitre, par £, v) les coordonnées courantes de la normale à la courbe

au point (xy y), les coordonnées £, n étant toujours parallèles aux coordonnées x, y et comptées de la même origine : l'équation de la normale est

Si Ton y substituait les valeurs de y, y' en fonction de x, tirées de l'équation (f), elle prendrait la forme

en restant linéaire par rapport aux variables £, n ; et l'on pourrait y considérer x comme le paramètre variable dont la valeur détermine chacune des droites normales, dont nous voulons trouver l'enveloppe : l'équation de cette enveloppe

?ffi*î = 0 (?)

résulterait de l'élimination de x entre l'équation (2) et sa dérivée par rapport à x,

— = 0 dx~~

Mais, pour opérer cette substitution, il faudrait particulari-

ser la fonction f; et comme pour le moment il s'agit au contraire d'exprimer des résultats indépendants de la forme de cette fonction, nous opérerons immédiatement sur l'équation (1), et nous la différentierons par rapport au paramètre x, en y considérant y, y' comme des fonctions implicites de X, en vertu de l'équation (f). Ce calcul donne

d'où l'on tire

Dans ces formules, Ç, n désignent les coordonnées du point d'intersection de la normale au point (x, y) avec une normale infiniment voisine [183], ou celles du point où la normale au point (x, y) touche la courbe enveloppe (<p). Si donc on appelle p la distance du point (x, y) au point (£, n) ainsi défini, p sera une fonction de la variable indépendante xy donnée par la formule

ou

Le double ± signe affecte la valeur de p comme celles de toutes les longueurs qui ne sont pas mesurées parallèlement aux axes des coordonnées. Si Ton convient de prendre positivement le radical

m ds

ou de faire croître l'arc s avec l'abscisse x, p sera de même signe que y ", et en tous cas changera de signe avec y".

326 LIVRE IV. — CHAPITRE m.

191 . Puisque la normale à la courbe (f) au point (w, y) touche son enveloppe (<p) au point (S, to), on a, en désignant par X l'angle que fait cette normale avec Taxe des x, du côté des abscisses positives,

dn dl . . dn % ,tK

tang \ = -— . ou — sin X — — cos X z=. 0 . (4)

5 d?' da? do?

D'autre part l'équation

f-b-wY + b-y)*

donne, quand on la différentie par rapport à la variable iny dépendante x,

ou plus simplement, à cause de l'équation (1), dp , . dç . . .d*

Si Ton remplace £— x, to — y par leurs valeurs p cos X, p sin X, il viendra

-r- = t" cos X + •— - sin >. (5)

dx dx dx

Élevons au carré les deux membres des équations (4) et (5), et faisons la somme : nous aurons enfin

dp* dp + du»

dx* dx*

Si l'on désigne par <x la longueur de l'arc de ïa courbe (?), compris entre un point fixe pris sur la courbe et le point mobile (I, yj), on a [174]

et par suite

dJ.

dx

Vd? + di?

dx

dx

~ dx

Donc, si Ton considère deux systèmes de valeurs correspondantes

X09 P0> *0Î &1> Pi» *\\

et si Ton suppose que dans l'intervalle xt — x0 les dérivées

di' «S conservent le même signe, sans devenir infinies,

les valeurs numériques des différences px — p0, <rt — <r0 sont égales entre elles : d'ailleurs ces différences sont de mêmes signes ou de signes contraires, selon que les grandeurs p, <r sont simultanément croissantes ou décroissantes, où Tune croissante et l'autre décroissante.