Soit mmimtmz (fig. 50) la courbe donnée à

laquelle la droite mobile sur le plan x y doit rester constamment normale, et p jxt fxt fxg le lieu des points

d'intersection de deux normales infiniment voisines, ou la courbe qui est constamment touchée par la droite mobile : il résulte de ce qui vient d'être démontré que la première courbe pourrait être décrite d'un mouvement, continu par l'extrémité d'un fil tendu qui aurait été enroulé sur la seconde courbe et que Ton déroulerait ensuite ; car de cette manière la différence des longueurs m p, ml jxt serait constamment égale à l'arc jx /a, ; et la portion rectiligne du fil dont une extrémité décrirait la courbe m mt mt , toucherait constamment par l'autre extrémité la courbe p\ix p% . . . .

C'est pour cela que Huygens, l'auteur de cette théorie, a nommé la courbe (<p) la développée de la courbe (f), et celleci la développante de la courbe (<p). Une courbe plane a toujours une développée comprise dans son plan, et n'en peut avoir qu'une; mais elle a une infinité de développantes, puisque, dans le déroulement du fil enroulé sur la développée, chaque point de la portion rectiligne du fil, que l'on peut concevoir prolongée indéfiniment, décrit une courbe particulière.

328 LIVRE IV. — CHAPITRE Ul.

La description des courbes planes par leurs développées a une grande analogie avec la description du cercle. Dans le cercle dont l'équation est

(*-«)• +(*-«• = *-, on trouve

de sorte que la développée se réduit à un point qui est le centre du cercle. Réciproquement, dans la description d'une courbe quelconque, à l'aide de sa développée, chaque point de la développée fait successivement l'office de centre ; et le rayon, au lieu d'être constant, change d'un point à l'autre de la courbe décrite. Cette considération va nous conduire à envisager sous un autre point de vue les liaisons des courbes avec leurs développées.

193. Pour nous former une notion précise delà courbure d'une ligne plane en chacun de ses points, imaginons qu'à partir du point m (fig. 51) on ait mesuré un arc m mi = As, puis mené les tangentes m t, mxt et les normales mn, rofn aux points m, m, . Soit A t l'angle extérieur formé par les deux tangentes correspondantes : suivant que la ligne sera plus ou moins courbe ou s'écartera plus 6u moins de la tangente mt dans le voisinage du point m, le rapport

prendra des valeurs plus ou moins grandes ; en supposant toutefois que l'arc n'éprouve pas de serpentements, mais tourne sa convexité dans le même sens dans toute sa longueur, ce qu'on peut obtenir, pour toute courbe continue, en prenant l'arc As suffisamment petit. Si la ligne était une circonférence de cercle, dont la courbure est évidemment la même en tous les points, le rapport (g) serait indépendant, tant de la longueur de l'arc A s que de la position du point

m sur la courbe, et il aurait pour valeur - , r désignant le rayon du cercle. En conséquence, on peut prendre le rapport - pour la mesure de la courbure du cercle de rayon r.

Pour la courbe quelconque m m, , le rapport {g) varie, nonseulement avec la position du point m. mais encore avec la longueur de Tare As. Si cependant les quantités As, At deviennent Tune et l'autre de plus en plus petites, le rapport [g) convergera, sauf les cas de solution de continuité, vers une limite déterminée et unique

ds\

et par analogie [30,38] on devra considérer cette limite comme mesurant la courbure de la ligne au point m, courbure qui deviendra ainsi une grandeur mathématiquement définie, pour chaque courbe et pour chaque point de cette courbe.

Or, quand l'arc mmx devient infiniment petit, le point n est le point (£, ri) déterminé plus haut , et parce que les normales mn, mtn ne diffèrent plus que d'une quantité infiniment petite, on a, aux infiniment petits près du second ordre, ds=:pdr, ou, d'après la formule (p),

ds ~P * (l+n1" L'angle infiniment petit rfr se nomme Y angle de contingence.

D'ailleurs, sans qu'il soit besoin de recourir à la formule (/>), ni aux calculs qui ont servi à l'établir, on a directement

dr = ± d. arc tang y' = ± * . dx,

ds= + \/\ +y'«. dx,

330 LIVRE IV. CHAPITRE m.

d'où

ds -(l+y")r

Le rapport - est donc la mesure de la courbure d'une ligne

au point (x, y) ; p est le rayon de courbure; le point (Ç, ri) est, le centre de courbure ou le centre du cercle décrit du rayon p, qui aurait au point (x, y) la même courbure que la ligne donnée : la développée est le lieu géométrique de tous les centres de courbure de la développante.

194. La valeur de la courbure, toujours réciproque à celle du rayon de courbure, varie en chaque point de la courbe, départ et d'autre du point (x, y). Généralement elle va en augmentant dans un sens et en diminuant dans l'autre. Donc le cercle décrit du point (£, ri) comme centre, avec le rayon p, doit être intérieur à la courbe du côté où la courbure va en diminuant, et extérieur à la courbe du côté où la courbure va en augmentant. Donc ce cercle coupe la couiv be au point (#, y) en même temps qu'il la touche, en ce sens que la tangente à la courbe est aussi tangente au cercle dont le centre (£, n) se trouve sur la normale.

Au contraire, et par la même raison, tout cercle tangent à la courbe au même point, mais décrit d'un rayon plus grand ou plus petit que p, est extérieur à la courbe des deux côtés, ou intérieur des deux côtés. Il est évident d'ailleurs, par la construction qui nous a conduit à la définition géométrique de la courbure, que le cercle dont la courbure est la même que celle de la courbe au point (x, y), s'écarte moins de la courbe, dans le voisinage immédiat de ce point, que tout autre cercle tangent décrit d'un rayon plus grand ou plus petit. En conséquence, Huygens a donné au cercle tangent, qui a pour centre le centre de courbure correspondant au point de contact, le nom de cercle osculaleur : il se trouve

à la limite commune des cercles qui touchent la courbe intérieurement des deux côtés, et de ceux qui la touchent extérieurement des deux côtés.

Il y a pourtant des cas où le cercle oscillateur cesse de couper la courbe : c'est lorsque le rayon de courbure passe au point (x, y) par une valeur maximum ou minimum. Alors, toujours en vertu du même raisonnement, le cercle osculateur doit toucher la courbe extérieurement des deux côtés, si c'est le cas du maximum, et intérieurement des deux côtés, pour le cas du minimum. Dans une ellipse, par exemple, la symétrie delà figure suffit pour montrer que le rayon de courbure est un minimum aux extrémités du grand axe et un maximum aux extrémités du petit axe. En général, dans une courbe fermée, sans points de rebroussement ou d'inflexion, le rayon de courbure a au moins un maximum et un minimum, et il a nécessairement autant de valeurs maxima que de valeurs minima.

195. Tous les résultats énoncés dans ce dernier numéro ont été déduits de considérations purement géométriques : on les confirmerait au besoin par l'analyse. Pour la plus grande simplicité des calculs, désignons par u la fonction

ou le carré de la distance du point (£, r,) au point (x, y) pris sur la courbe : le premier point restant fixe, u sera une fonction de la seule variable indépendante x. Si donc nous voulons que la distance du point (£, r>) au point (x, y) soit un maximum ou un minimum entre toutes les droites que l'on peut mener du premier point aux points voisins du second sur la courbe, il faut poser

c*es1rà-dire que le point (£, n) doit se trouver sur la normale à la courbe au point (x, y).

Il y a maximum ou minimum , suivant que

^=4+y'>-(*-y)y''<ou>0.

La première inégalité ne saurait être satisfaite lorsque les facteurs m — y, y" sont de signes contraires, ou (comme il est facile de s'en assurer) lorsque la courbe et le cercle tangent tournent leur convexité en sens contraires. Admettons que ces facteurs soient de même signe, ou que la courbe et le cercle tangent tournent leur convexité du même côté de la tangente : suivant que la première ou la seconde inégalité est satisfaite, le cercle tangent est, au voisinage du point (x. y), extérieur ou intérieur à la courbe des deux côtés. Mais il n'existe plus ni maximum ni minimum si l'on a, outre l'équation (1),

c'est-à-dire (d'après l'identité des équations (1) et (3) avec celles que nous avons désignées plus haut par les mêmes réclames), si le point (£, n) est le centre du cercle oscillateur. Ce cercle coupe donc la courbe en même temps qu'il la touche. H est extérieur ou intérieur à la courbe du côté où les x vont en croissant, suivant qu'on a

— = Zyy« - (, - y)y" <ou> 0.

Enfin, le cercle oscillateur redevient extérieur ou intérieur des deux côtés, si Ton a

ou, en substituant la valeur rj — y, tirée de l'équation (3),

3y y— u+iDif' = o. (6)

Mais, en différentiant l'équation (p), on trouve

i=±!^p2(yiri-(«-i-îffi)^); "

et par conséquent l'équation (6) exprime la condition pour que le rayon de courbure passe par une valeur maximum ou minimum.

196. Lorsqu'on veut s'affranchir de la condition de regarder x comme la variable indépendante, l'expression du rayon de courbure prend la forme symétrique

+ (cfo' + dy')* ^+ ds>

P - dxd*y — dyd*x - dxdhj — dyd*x KM

Or, l'équation ds* = dx* ~f dy* donne par la différeniia-

tion

dtg = dx#x + dyVy

ds

d'où ., , (dxd*x+dyd*y)* (dtxt+d*y1){dxt+dy*) — (dxd'y—dyd*x)i

a s zz: zzz — —

ds* ds*

=rfy + rfy-(lta»-w', (8)

et par suite

dxd*y — dytPx

1/dW+dy—d**,

ds

p ~ - l/à'i^+dy ^W * L'équation (8) peut encore être mise sous la forme

{dxd*y — dyd*x)t = {d*x* + d'y') ds* - (dx* + dy*) dV, qui devient, en vertu de l'équation (7),

(dxd*y — dyd'x)* = (dsd'x - dxd**)' + [dsi*y - dyd*s)*

334 LIVRE IV. — chapitre ur.

et d'où Ton tire

D'ailleurs on a [193], ds=pdrf dx désignant l'angle de deux tangentes infiniment voisines , ou l'angle de contingence : donc

Les formules (pt), (f>,), (r) trouvent leur application dans la mécanique.

On aaussi, dans le système des coordonnées polaires [1 79], en prenant l'angle <j> pour variable indépendante :

dx = dr cos f — r sin f d?,

dy = drsiiif + r cos f df9

<Fxz=<jPr cos f — 2sin? drdf — rcosyd?*,

d*y = dVsinf + %co% f drdf — r sin fdf*.

Si Ton substitue ces valeurs dans l'expression du rayon de courbure, il vient

..♦-fci&