Exemples. 1° Soit donnée l'équation de l'ellipse

on trouve

et pour l'équation delà développée en £, *i,

Délivrée de radicaux, cette équation devient

r a';1 6V 15 g7 flW

[ (ai by (a* — b*)*\ "~ (a* - b*)> *

Cette développée (fig. 52) a quatre points de rebroussement qui correspondent aux extrémités des axes de l'ellipse développante [194].

Le môme calcul donne la développée de l'hyperbole, par le changement ordinaire de b en ft|/3f .

2° Pour la parabole y* = 2 px, on a

et l'équation de la développée devient

* -Tr—j—

Cette développée (/î<j. 53) est une courbe parabolique, c'est-à-dire, une courbe du genre de celles dont l'équation peut être ramenée au type

tT=:kxm,

m et n étant des nombres entiers positifs. On l'appelle la parabole de Neil, du nom du géomètre qui l'a étudiée le premier, ou l'un des premiers, en signalant la propriété, alors très remarquable, dont jouit cette courbe, d'être rectifiable, en ce sens que l'arc s peut être exprimé par une fonction algébrique de l'abscisse x. C'est un point sur lequel nous reviendrons en traitant de la rectification des courbes, ou de la détermination de s en fonction dex.