Reprenons l'équation de lacycloïde

x = R arc cos ' y ± y 2 R// - yf , nous avons trouvé [177] -

d'où

Il résulte du rapprochement de cette formule avec l'équation (h') du n° cité, que le rayon de courbure de la cycloïde est double de la normale*

Ceci nous conduit à démontrer une propriété bien remarquable de la cycloïde : celle d'avoir pour développée une autre cycloïde de mêmes dimensions, placée au-dessous de la cycloïde développante, ainsi que l'indique la fig. 54.

Menons en effet une droite indéfinie ££' parallèle à XX\ et à une distance de celle-ci égale au diamètre du cercle générateur de la cycloïde développante Omq. Ce cercle étant représenté dans la position nmn', construisons le cercle symétrique np : le point d'intersection p. de ce cercle avec la droite mn prolongée est, d'après ce qu'on vient de démontrer, le centre de courbure de la cycloïde développante. La distance On est égale à l'arc mny et la distance Os est égale à la demi-circonférence du cercle générateur. Donc l'arc mn', ou l'arc p qui lui est égal, a la môme longueur que la droite sn, ou que la parallèle ov. Donc, si le cercle np roule sur la droite 4£', le point de la circonférence qui viendra toucher cette droite fixe au point o décrira la développée de la cycloïde engendrée par le roulement du cercle nmri sur la droite X'X.

Cette construction montre que le rayon de courbure delà cycloïde développante est nul au point de rebroussement 0, et qu'au sommet il est égal à oç, ou au double du diamètre du cercle générateur. Mais oq est aussi égal au demi-arceau de la cycloïde développée, laquelle est superposableàsadé-

veloppante : donc la longueur d'un arceau de cycloïde vaut quatre fois le diamètre du cercle générateur.

Les propriétés de la cycloïde, qui font l'objet de ce n°, ont été découvertes par Huygens, à propos de ses recherches sur l'application du pendule aux horloges : elles ont conduit cet esprit éminent, d'une part, à la théorie géométrique des développées et des rayons de courbure ; de l'autre, à des théorèmes d'une haute importance enmécanique rationnelle ; et l'histoire des sciences n'offre pas d'exemple de connexions plus curieuses.

199. 4° Prenons, pour faire une dernière application, l'équation de la spirale logarithmique [181], r= e1**: la formule (pj donnera, pour la valeur numérique du rayon de courbure, p==ri/T+ïn*. Mais nous savons que dans cette courbe la normale forme avec le rayon vecteur un angle constant «, qui a po'ir tangente — m : donc r = p cos a ; en sorte que le centre de courbure est l'intersection de la normale avec la perpendiculaire élevée de l'origine sur le rayon vecteur.

Donc la tangente de la développée, qui n'est autre que la normale à la développante, fait un angle constant avec le. rayon vecteur de cette même développée, et un angle égal à celui qui est formé par la tangente et par le rayon vecteur de la spirale développante. Donc la développée est la même courbe que la développante, rapportée au môme pôle ; de telle sorte que la seconde, en décrivant autour du pôle commun un arc de rotation d'une amplitude Convenable, viendrait se superposer à la première.

* $ 2. Notions sur les caustiques.

200. La théorie des courbes enveloppes, restreinte au cas où les enveloppées sont des lignes droites, offre encore une t: i. 23

application curieuse, et qui se lie trop naturellement à la théorie des développées pour que nous la passions tout à fait sous silence. On peut supposer effectivement que les droites enveloppées, au lieu de rester normales à une courbe donrfée MN (fig. 55), sont assujetties à la condition de faire avec les normales ma un angle rmn tel que l'on ait

sin rmn = k sin Fmn',

k étant une constante donnée, et F un point donné de position dans le plan de la courbe. Les principes de l'optique nous apprennent que, si MN est la trace d'une surface cylindrique qui sépare deux milieux inégalement réfringents, et dont les génératrices soient perpendiculaires au plan de la courbe, les rayons émanés du foyer lumineux F et dirigés suivant Fm, se réfracteront suivant mr, k désignant l'indice de réfraction qui se rapporte au passage d'un milieu dans l'autre. L'enveloppe de toutes les droites m r, lorsqu'elle se trouvera sur le trajet de la lumière, pourra se dessiner sur le plan de la courbe comme une trace lumineuse, parce que les points situés près de l'enveloppe, où convergent des rayons sensiblement parallèles, recevront plus de lumière que les autres points du plan. On donne à cette enveloppe le nom de caustique par réfraction. Si la constante k devenait nulle, la caustique coïnciderait avec la développée ; si Ton prenait k = — 1 , la réfraction se changerait en réflexion, et la courbe enveloppe prendrait le nom de caustique par réflexion. Les caustiques changent, pour la même courbe MN et pour la même valeur de la constante A, avec la position du point F ; quand ce point s'éloigne à l'infini, ou que les rayons incidents deviennent parallèles, on obtient des courbes auxquelles on peut donner le nom de caustiques principales.

Soient a, /3 les coordonnées du point F parallèlement aux