NOTIONS SUR LES CAUSTIQUES

axes des x et des y ; S, ri celles d'un point quelconque du rayon réfracté en m ; x, y celles du point d'incidence m pris sur la courbe réfringente

X, X', les angles que le rayon incident et le rayon réfracté font avec les x positifs : les cosinus des angles que ces mêmes rayons font avec la tangente à la courbe auront pour

valeurs

dx du tdx du

cos > — + sin \ ~, cos X' h sin X' -7- ;

ds d$ ds ds

et ils seront aussi respectivement égaux à + sin Fmn', + sin rmn, en sorte qu'on aura

cos l'dx + sin \'dy = k (cos* dx + sinX dy). (9)

Posons, pour abréger,

il viendra

X — a V—fi , %—X *î— Il

cos X = ,sin > = 2 — -;cosX' = ,sinA' = — r^;

d'où

Telle est en £, yï l'équation du rayon réfracté, ou de la droite enveloppée qui correspond au point (x, y) sur la courbe réfringente (/*). Si l'on différentie cette équation par rapport à x, en y considérant y, y' comme des fonctions implicites de x, et si l'on élimine x, y, y \ y" entre l'équation (10) et sa dérivée, l'équation (/*) et ses dérivées des deux premiers ordres, on aura en Ç, n l'équation de l'enveloppe ou de la caustique.