Quand on considère dans l'équation (10) les coor

données £, n comme des constantes données, elle prend la

forme

«* t/ + */»)« ~dï -0'

et elle exprime que la fonction p'-f&p acquiert une valeur maximum ou minimum; de sorte que, si Ton mène à un point quelconque de la courbe, autre que m, les droites Fml9 rmi9 on aura constamment

rmt + ÀJ.Fro! > ou < rm + k.Fm;

mais évidemment le premier membre de cette inégalité ne comporte pas de maximum , et par conséquent l'équation (10) établit l'existence d'un minimum [02]»

Lorsque l'on considère au contraire £, » comme les coordonnées courantes de l'enveloppe à laquelle chaque droite enveloppée est tangente, on a, par la définition de l'an-

tang X' = -r» ou -^ sin X' — -? cos V = 0. fil)

d* dx dx v

De plus, si Ton différentie les équations

fi =(*-•)• + »-<% P» = (ç-*r + (, - tf,

par rapport à la variable indépendantes, et qu'on substitue dans le résultat pour x —a, y — /3, £ — jj, m — y leurs valeurs p cos X, p sin X, p' cos X', p' sin X' , il vient

dp

— =cos> + y'sin>,

dx

d'où, en vertu de l'équation (9),

dx dx dx dx

Élevons au carré les deux membres des équations (11),