Soient

y— fa if) y = ?* (?)

les équations de deux courbes ayant un point commun (x, y) par suite de l'équation de condition

fxzzzfX, (m)

qui subsiste pour la valeur particulière x. On a [99]

f(X + M)—f(x+*x) = \f (X + tàx) — ?'(X+ 6A*)] .àX, (t)

ty 0 désignant des nombres compris entre zéro et l'unité ; et si les fonctions f, <p n'éprouvent pas de solutions de continuité dans l'intervalle de x à x -f A#, si de plus Ax désigne une quantité très petite du premier ordre [45], le premier membre de l'équation précédente, ou la différence mt pt (fig. 56) des ordonnées pt f*t, pt mi7 est aussi en général une quantité très petite du premier ordre.

Mais dans le cas où les deux courbes (f), (<p) se toucheraient en m, c'est-à-dire, auraient en m une tangente commune par suite de L'équation de condition

fx = jx, (m')

il viendrait

les nombres tl9 0t ( qui diffèrent en général de t et de 6) devant toujours tomber entre 0 et 1 . Alors, la distance mt ft, se trouverait être une quantité très petite de l'ordre de Ax2 ou du second ordre.

Il est facile de voir que la distance du point m, à la ligne