DES PLANS TANGENTS AUX SURFACES COURBES

236. Nous passons aux applications du calcul différentiel à la théorie des surfaces : applications importantes, même au point de vue de la pratique, dont le développement appartient surtout à Monge et aux élèves de son école, et dans lesquelles consistent les perfectionnements les plus essentiels apportés à la science de l'étendue, depuis les anciens.

Étant donnée l'équation d'une surface rapportée aux coordonnées rectilignes x, t/, s, que (pour plus de simplicité), nous supposons rectangulaires, deux des variables, telles que #, y, peuvent être réputées indépendantes ; et la troisième variable z, fonction des deux premières, admet deux dérivées partielles du premier ordre p, ç, en sorte qu'on a pour l'expression de sa différentielle totale

dz = pdx + qdy,

les accroissements infiniment petits dx, dy restant indépendants l'un de l'autre.

Mais si Ton conçoit qu'on ait tracé sur la surface une ligne quelconque passant par le point (x, y, s), il y aura pour les points situés sur cette ligne une dépendance entre y et x, et par suite entre dy et dx, telle qu'on pourra poser

dy = y'dx, dz == (p + qy') dx,

y1 désignant une fonction de x, déterminée en vertu du tracé de la courbe.

Appelons I, n, ç les coordonnées courantes de la tangente à la courbe dont il s'agit, menée par le point (#, y, z) : les

équations de cette tangente seront [223]

,— yssyTiE— x)t-z = (p + qy')(Z— œ\. (4)

Si donc on élimine entre elles y, l'équation résultante appartiendra à la surface sur laquelle se trouvent toutes les tangentes que Ton peut mener, par le point {x, t/, s), aux courbes quelconques tracées sur la surface donnée. L'élimination donne

équation d'un plan qui aurait £, », f pour coordonnées courantes, et auquel on donne le nom de plan tangent, parce qu'il est le lieu de toutes les tangentes des courbes tracées sur la surface, et passant par le point de contact.

La proposition cesserait en général d'être exacte, si les deux fonctions p, ç, ou seulement Tune d'entre elles, après avoir été ramenées à ne contenir que x et t/, au moyen de la valeur de % en #, y, donnée par l'équation de la surface, se présentaient sous l'une des formes indéterminées £, s : car alors [1 39] les valeurs de p, q dépendent en général de la liaison entre y et x, ou sont fonctions de y'. On ne peut donc plus éliminer y' entre les équations (1) tant que la composition des fonctions p, q en y* m'est pas donnée ; et lorsqu'elle l'est, l'élimination ne conduit plus en général à une équation linéaire en £, n, Ç. Le point (x, y} z) est alors un point saillant de la surface donnée, et le lieu des tangentes devient une surface conique, c'est-à-dire une surface du genre de celles que décrit une droite en tournant d'une manière quelconque autour d'un point fixe. Si, par exemple, on fait tourner un arc de cercle, moindre qu'une demi circonférence, autour de sa corde, les deux points extrêmes de l'arc sont des points saillants de la surface engendrée par ce mouvement de rotation, et le lieu des tangentes aux courbes tracées sur la surface, à partir de chacun de ces points, est la surface d'un cône droit.

Le plan tangent peut n'avoir qu'un point commun avec la surface, ce qui est une propriété des surfaces convexes en tous leurs points, comme celles de la sphère et de l'ellipsoïde. Mais plus généralement ce plan peut couper la surface, et même la couper suivant une ligne passant par le point de contact, ce qui n'empêche pas qu'il ne soit le heu des tangentes à toutes les courbes tracées en ce point sur la surface. Cette ligne d'intersection sépare sur la surface les lignes qui s'élèvent au-dessus du plan tangent de celles qui s'abaissent au-dessous du même plan.

Par exemple, si le cercle MN M'N' (fig. 73) tourne autour de la droite PP' comprise dans son plan, il engendre une surface connue sous le nom d'anneau ou de surface annulaire : dans la portion de la surface engendrée par la rotation du demi-cercle MNM' le plan tangent n'a qu'un point de commun avec la surface, tandis que dans l'autre portion, engendrée par la rotation du demi-cercle MN'M', la surface est coupée par son plan tangent.

237. Soit F (x, y, z) = 0 l'équation de la surface, et exprimons les dérivées p, q au moyen des dérivées partielles de la fonction F : l'équation du plan tangent deviendra

dF dF d¥

c'estrà-dire qu'on la déduit de dF = 0, en remplaçant les différentielles dx, dy, dzpar les différences \ — x> n — y. f— s [172].

La droite menée par le point de contact, perpendiculairement au plan tangent, est la normale à la surface, et les plans qui comprennent la normale se nomment plans normaux. L'intersection de la surface et de l'un quelconque de ses plans normaux est qualifiée de section normale, et, par

opposition, les autres sections planes de la surface sont appelées sections obliques.

Les deux équations de la normale se tirent de la formule

dx dy dz

eu

Soient X, p7 v les angles de la normale avec des parallèles aux axes des x, t/, z, ces angles étant mesurés du côté des coordonnées positives, et posons

nous aurons

i dV 1 rfF 4 <*F

±2) ± 0 il

COS X =— ==£=—-, COS fi — . * =, COS v ^ .. x - ==. (3)

i^i+i>f+?f i/*+/>*+?f i/i+^tj" w

Les lettres X, p, v désignent encore les angles du plan tangent avec ceux des yz, des xz et des xy. Toutes ces formules sont d'un usage très fréquent.