C -»- D sin. a

ou

x* — M tang. a i f si le radical ramené à la forme V 1 ± &x* yx k offre la relation

§ \A. Théorème. Si Q est une fonction rationnelle paire de sin.?, la formule J % -^- pourra toujours se réduire aux fonctions elliptiques.

Démonstration. Si Ton pose sih. ? = on obtient immédiatement

/rf? f* dx A J V~~\ — (l -t- c a )3r a ic a x*'

et Q étant une fonction rationnelle de sin.'?, devient une fonction rationnelle de x*. Ainsi l'intégrale cherchée dépendra de la formule y" P R x , et se trouvera, par conséquent, sans difficulté en réduisant celle-ci aux transcendantes elliptiques qui en constituent la dernière expression. Mais on y parviendra d'une manière plus directe par la méthode suivante.

Considérons d'abord le cas où Q serait une fonction entière , et soit

Q = A-4-Bsin. a <f -t-Csin. 4 ?H- etc. ; y^iiueviendra kf—~ ■+■ B p«tÙ± + C fH^+«c.;

mais en différentiant la quantité a cos.y sin. 2 *- 3 ^ , on trouve aisément la formule

A COS.fr siu.2A-3 ?== (2*--3) J ** 1 "' 2 *"''*-*?

sin. 2A fr.</',

d'où il suit que tous les cas de l'expression

sont ramenés aux deux suivants

/sin.°w . d ? pdv =y = d, e . ? ,

Soit maintenant Q une fonction rationnelle quelconque de sin.*? : après en avoir extrait la partie entière et l'avoir traitée comme il vient d'être dit , le développement de la partie fractionnaire pourra toujours se faire de manière que chaque fraction partielle soit de la forme

(l -+- nsin. J - r )*'

n et N étant des coefficients constants réels ou imaginaires ( voyez la note I r0 ). Il s'agira donc de réduire la formule

(l nsin. a ç,)*A

aux formules les plus simples de la même espèce. Or , si l'on différentie la fonction

A sin. ^ cos. y (1 -4- n sin.'î.)*- 1

on trouve pour résultat

d'f 1(1 ■+- nsin.^) 1- *[1 — (2 •+- 2c 1 ) sin.'y -*-8c*sin. 4 y] ) A (-f-2n(l— *)(l^-nsin. a - r )-*[sin.>— (l-t-c^sin.^-j-c'sin. 6 ,,]) *

Faisant 1 -t-n sin. a y = a, d'où sin.'f — 1 ^, et substituant dans le polynôme entre accolades , on pourra lui donner la forme

Remettant alors au Heu de s sa valeur l -\- n sin.% , multipliant le résultat par ^ et prenant l'intégrale de chaque terme, il viendra

Asin.vcos.? s* d?

(î^-n~sm.%)*-«~ = J [\ -4-nsin.' ? )*A

■+- n sin. a ' r )*- 3 A '

formule dans laquelle A , B, C et D représentent les valeurs suivantes

/ 1 -♦- c* Se 3 \

D=-(2*-S) Si l'on y fait * = 2 et que l'on pose , pour abréger,

on aura

2* cf ? a sin. y cos. ?

(l -t- n sin.'^'A 1 -f- n sin.'p

\ n li 7 / P * ? i? y( l ^ n8,n - r)

Mais, au moyen de la formule (4), on trouve

J*(\ -4- n $in.» ? ) ^ = ( l -h ^ ] dig. ? - ^ cps. - f ;

par conséquent

V ' nj{\ -f-»sin.' r )'A

Asin. ? cos. ? fi c'x 1 /, a+Sc' Sc'X

Si l'on fait A= 1 dans la formule (4), on tombe sur la valeur de AA- trouvée au §11.

§ 15*. Les formules (4) et (5) offrent le moyen le plus sur et le plus facile de ramener l'intégrale J % ^^- aux fonctions elliptiques, chaque fois que l'on n'aura pas simultanément R = l ± 0x* y.r 4 et /3' — 4y<o. En effet , les valeurs de x* qui servent à opérer la réduction de ce radical étant alors de la forme

A -4- Bsin.'o x * — I

~C-v-Dsin.V

leur substitution dans le polynôme P n'y introduira que des puissances paires de sin.y , et l'intégrale proposée prendra immédiatement la (ormeJ^Z.

Il n'en sera pas de même dans le cas d'exception précité : alors le radical affectant la forme

R = V\ -f- 2/*r' cos.0 -+- ft*x* (§6) , il faudra prendre

1 11 — COS

x l = ~ tang. a £y = — ,

fi fi 1 COS.?

valeur que l'on ne pourra substituer dans P sans y introduire des puissances impaires du cosinus.

Pour éluder cette difficulté, on cherchera d'abord à transformer le radical de manière à ce qu'il offre le produit de deux facteurs binômes réels. Ou y parviendra par l'hypothèse

fix y -+- cos.0 + K 1 + 2jKff' cos. 4 [Sx* = %f ,

qui donne

Vy — cos. a £ ô) sin.' £4)

où Ton voit qu'en effet les deux facteurs de la quantité sous le radical sont réels. On voit aussi que la moindre valeur de y étant