I -f- COS.* Sin

d'où

tang.'i r . - = /—V ~ / ~- 2 - /

a «/ a sin. y */ A «/ a sin. ^

Des trois intégrales du second membre , les deux premières nous sont connues, et la troisième s'obtient sans peine en posant c sin. y on trouve ainsi

cos. o a

a sin. <f sin. y

et finalement , toute substitution faite ,

/d-j tang. a {? — = 2a tang.£? -4- dig. ? — Seps. - r .

C) On peut voir au § 14 une manière plus directe d'obtenir cette intégrale.

ntp. . nous frirons ? —

cos. y

Pour réduire la troisième transcendante , nous écrirons ?- . !?M au

' 14- cos.»

lieu de tang.'J^; ce qui donnera

J aft -+-tang. a £î> A J afL + \ + (a(t— l)cos. ? A

Posant, pour abréger, =A, il vient pour l'intégrale précédente

(2) 1 p . rf?

ai*. — \J h cos. ? A

1 f*(h — cos.p) ( 1 cos. y) d?

Xfl — \J h* — C0S. 3 v A

h — 1 -4- [h — 1) cos. » -+- sin. a © dy

sin.'ç» a

Sous cette forme , elle dépendra de

*h — 1 sin.*? df

A 1 — 1 •+- sin. a ? a

la même que

A B sin.'y df

C B sin. 2 ? A que nous venons de discuter , et de

cos.? dy

h ! — 1 sin. a © a Cette dernière expression s'intègre avec facilité en posant

h 1 — 1 = m , siu.? =

Vf -f- y 2

y étant une nouvelle variable. On obtient ainsi

K 1 ' ' ' J h' — 1-4- sin.* r a

arc ( tang. =

\/m-\ m ! c \ sin. f .l/m-»- wV

Si Ton avait A 1 — 1 =s o, ce qui répond à a = o , celte équation se réduirait à

/cos. <p.d? A sin. V a sin.p

Dans le casde an -f- 1 = o, on a A=o, m = — 1 et la formule (S) devient

/* . ? arc (tang.= =^=V

c /l H 81 n.v f A \ sin.^-(l-c')i

mais , à cause de la relation 1 = o'-»- c a entre le module c et son complément b t ainsi que de la formule générale

areftang. =s|/— 1) = \ log. I- ,

il vient simplement

p cos. ? df J / fesin.y h- a \

y l H sin.\ ' T ~~ ~ 2Z> ° 8 \ fcsio. ? — a/

Observons à l'égard de cette dernière équation , que la quantité entre parenthèses est essentiellement négative , car on a

a = \^ 1 — c* sin. a ? = V cos.*? o a sin.'y ,

et, par conséquent, osin.y <a. Mais si Ton fait /? = ^il^£ ? on reconnaîtra que l'intégrale cherchée revient à — \J\~-i et qu'ainsi on devra changer le signe de la quantité h sin. y — A, en vertu de la remarque que nous avons faite au § 10 , si l'on veut que l'intégrale s'évanouisse avec pou, ce qui revient au même , avec l'amplitude f. Dans le cas de a a — 1 =o, la formule (1) devient

~— = 7 dig. ? -arc sin. = csm. r ) •

(an 1 ) a a/u. -4- 1 L c -J

§ 12. Lorsque la constante a est imaginaire , m qui est une fonction de a devient également imaginaire ainsi que la fonction circulaire qui entre dans la formule (8). Dans ce cas , l'on commencera par mettre cette fonction sous le forme A -4- B V — 1 , A et B étant des

quantités réelles , par les méthodes connues. On remarquera ensuite que le polynôme qui a fourni le facteur

en contiendra nécessairement un autre de la forme

qui donnera lieu à une seconde fonction circulaire dont la combinaison avec la précédente donnera un résultat réel. En effet, dans le § -4, au lieu de décomposer la fraction rationnelle P en facteurs de la forme , N et o pouvant être imaginaires, nous eussions pu la

décomposer en facteurs de la forme

M -t- MV

M, M', a et j3 étant toujours réels; de cette manière, la fonction J aurait dépendu d'un certain nombre de transcendantes élémentaires de la forme

M -+- M' du-

réelles de leur nature, puisqu'elles ne contiennent que des coefficients réels. Par conséquent , si un autre mode de décomposition fournit des transcendantes qui renferment des termes imaginaires, il faudra nécessairement que ceux-ci se détruisent entre eux soit immédiatement , soit après qu'ils auront été développés en séries.

§ 18. Résumé. Les trois transcendantes

/'dx p a dx r 1 dx R~' J * TT' J x* + a ' TT

dont dépend, en dernière analyse, l'intégration de la fonction générale

ri"

R -, peuvent toujours être réduites soit à des fonctions connues,

soit aux transcendantes elliptiques. Les valeurs de .r a qui serviront à opérer cette réduction , seront de la forme

A h- B sin.'o x 1 = -,