CHAPITRE III

Propriétés générales des digamma de même module.

§ 1 6. La première et la plus simple des fonctions elliptiques est J* — , que nous avons nommée digamma, et dont nous allons donner une représentation géométrique ( voyez la note II).

On sait que l'aire mixtiligne comprise entre un arc de courbe et les deux rayons vecteurs qui le terminent , a pour expression { J'p*d?, en désignant par p le rayon vecteur et par y l'angle compris. Si nous posons l'égalité

l'équation polaire que nous en déduirons

l/l— VsmS 9

sera celle de la courbe CBED (fig, 1) qui jouira de la propriété que l'aire RAB sera égale au digamma de l'angle y. Nous l'appellerons la fausse ellipse , à cause de son extrême ressemblance avec l'ellipse , courbe à laquelle il est donc naturel de la comparer.

L'équation de l'ellipse dont le demi-grand axc=l, le demi-petit axe =3 b, et l'excentricité = c, est y a -f- b 3 x" 1 = o a : si l'on prend le centre pour pôle , et qu'on représente par y l'angle entre le rayon vecteur R et le petit axe , l'équation polaire de cette courbe sera , puisque y =R cos. y et .r=R sin y ,

V/l-c' sin.' 4 ,

d'où l'on conclut cette relation

qui subsiste pour toutes les amplitudes et pour tous les modules. Il s'ensuit aussi que , si l'on construit une parabole dont le paramètre = ses abscisses représenteront les rayons vecteurs de l'ellipse, et ses ordonnées ceux de la fausse ellipse.

Nous proûterons de cette propriété pour construire la fausse ellipse par points. Après avoir construit l'ellipse cbed , que nous nommerons l'ellipse génératrice, dont le graudaxe=2et l'excentricité = c, et mené autant de rayons vecteurs que l'on voudra , on prendra sur la ligne indéfinie Dx {fig. 2), deux longueurs AD , AF égales entre elles et à 2 l /; . Alors, si Ap représente un rayon vecteur de l'ellipse, pm représentera le rayon vecteur correspondant de la fausse ellipse, pourvu que Fm ait été pris égal à Dp.

En effet , par cette construction , le point m appartiendra à une parabole dont la directrice sera DE , le sommet A et le foyer F.

Soit 2a le grand axe d'une ellipse quelconque : l'équation de la fausse ellipse devient

l-V— c 1 sin. 3 ?

si l'on y met , au lieu de l'unité , les puissances du demi-grand axe a qu'elle doit représenter pour que l'équation soit homogène. Faisant successivement r =oet ? = 90°, on a pour valeurs du demi-petit axe et du demi-grand axe de la fausse ellipse

d'où

VA* cos.>h-B4 sin.^y

C'est l'équation générale d'une fausse ellipse de dimensions quelconques , rapportée à son centre et a ses axes.

§ il. La propriété la plus remarquable des diçamma fait l'objet du théorème suivant :

Étant données deux amplitudes $ et <p , on peut toujours assigner algébriquement une troisième amplitude telle que

dig. ? dbdig. £ = dig.ya.

En différentiant l'équation précédente dans l'hypothèse de (a constant (ce qui est permis , car les variations de y peuvent être attribuées a celles de la seule amplitude f) , on obtient

d>j dp

aurons

► IaIIo nno rit

Choisissons une nouvelle variable t, telle que dt — -£r- : nous

= — c'sin.^cos.y , j— = — c'sin.^cos. f .

dt 1 dt

Si Ton prend p — ? , o= y — </< , il viendra

v = i(^ + 9 ), * = d> ? + d^ = d'p, d^-d^âq;

dp

( 1 ) — = — -1 c* [sin . (/> -4- q) si n . [p — g)]=— c'sin .pcos.q,

dt*

(2) — = — ic'[sin.(p-^)-sin.(/> - o^-c'cos-psin.o.

Mais on a aussi

dp dq df* df*

dt' dt == dF~dF == ~ cl ' sin *' f ~~ sin • :, rf == ^ c, ( cos - cos.2^)

= 4c'[cos.(p-<-ç) — cos.(/>— g)] = — sin. p sin. g :

divisant les équations (I) et (2) par

on aura

dp dq

dt dt r i>

du cos. a du du cas. u

— — = , ou — - ^ - , ;

dpdq sin. q dp sm. q

d q cos.w d q dp cos. p ou -—

dpdq sin./> r/^ sin. p

Ces deux résultats s'intègrent , et donnent, en désignant par x et par x des constantes arbitraires ,

dp dq Iog.-~ = log. sin.g-+-log.a, log.—- =: log. sin. p log. x ; dt dt

et , passant aux nombres ,

dp . dq .

— -=asm.g, — z= x siti.p.

a* dt

Remplaçant g, ^ et ~ par leurs valeurs, on aura

(S) a (y) =f A (f) — * sin. ( ? — <f).

W a (?) ± a sin. ( ? -+-*).

Chacune de ces équations est une intégrale de l'équation différentielle dont nous sommes parti ; mais on peut en obtenir une troisième qui sera plus simple , en éliminant dt entre les équations

dp dq

-~ = x sin . q , = x sin. p :

dt * dt r

la résultante

xdq sin. 9 = x'dp sin. jj,

et son intégrale

x cos. ç = x' COS. /ï -4- x" ,

conviendront à l'équation différentielle, lorsqu'on aura réduit à une seule les trois constantes arbitraires x , a et a".

Pour y parvenir, je remarque que , puisque <p = 0 donne dig. } = o, U suit de l'équation hypothétique dig. r rh dig. ^ = dig. /u, que/u est

ce que devient Tare y dans l'hypothèse de -p = o. Les deux intégrales (3) et (A) donnent alors

=P I -4- à{fA , Zfc 1 A (/*)

sin.ytc sin.^.

mettant ces valeurs dans l'équation « cos. q=a' cos. p-t-a", qui (dans l'hypothèse actuelle où p — q = devient (a — <x')cos. /te— a", nous aurons

COS. fJL

sin. /et '

substituant ensuite dans a cos. g = a' cos. p après y avoir mis

? H- ^ et ^ — f à la place de p et de q, nous obtiendrons

cos. — [q= 1 -4- à (/<)] =cos. <p) [dz 1 -H A (/tf)] zp2 cos. /t<; résultat qui se réduit à

(5) . . . . cos. > r cos. ^ipsin. % sin. | a(,u) = cos./u.

§ 18. Le premier usage qu'on peut faire de cette équation double, consiste à trouver l'arc jx qui répond à la somme où à la différence des digamma de y et de -p, lorsque ces arcs sont connus. Il faut , pour cela, résoudre l'équation (5) par rapport à sin. p. ou h cos. /tt j mais on arrivera plus facilement au résultat, en mettant dans les équations (3) et (4) les valeurs de a et de a rapportées plus haut, et en éliminant successivement a (/u.) et sin. /x. Pour éviter les embarras du double signe , nous opérerons ces calculs avec les signes supérieurs seulement : nous obtiendrons de cette manière , après les réductions et les développements nécessaires ,

sin.'ti cos.> — cos.'œ sin.'^

sin . fi =

sin. y cos. f a (f) — sin. </- cos. ©A (?) * sin. f cos.$± (?) — sin. <p cos ? a (^)

sin. ff cos. «£A — sin. <p cos. ?a (p)

On multipliera ensuite les deux termes de chacune de ces fractions , par sin. f cos. </,A (p) -+- sin. f cos. ?A ( r ) , et on les divisera en même temps par

sin. ''y cos.' £ cos.'f sin. ,

en observant que cetle quantité n'est autre que

(1 — COS. *f) COS. > — ( I — COS. \) COS. 'ç> s= COS. > — COS. ''y ,

(1 -- sin.» sin.>— (1 — sin. * f ) sin. 'f = sin. > — sin. ^ : il viendra , pour lors ,

sin. f cos. <^a ( j ) ■+■ sin. ^ cos. yA ( - r )

(a) . . . . sin.yu

1 — c 1 sin. 'y sin. a ^

A (r) ù (f) — c'sin.j» sin. ^ cos. y cos. «/>

1 — c 1 sin. y sin. J $

Substituant cette dernière valeur dans l'équation

cos. f cos. <p — sin. y sin. A (/u) = cos. yu ,

on aura

cos. o cos. f — sin. y sin. 4, A (< r ) a (a)

(c) . . . . cos.ju — — — - — : — ;

1 — c sin. \ sm. 3 ^

d'où l'on déduira

m\ . tang. y A(^)-4-tang.f A(>)

(a) ... . tang./< = — - — - — - •

w 1 — tang.y tang. a (y) a(

Dans le cas où l'on considère les signes inférieurs (ce qui revient à changer -4- ^ en — <p , et par conséquent

sin. * , -4- tang. ■+■ dig. 4, ,

en

— sin. <p, — tang. — dig. |,

tandis que les fonctions cos. ^et a ($) restent les mêmes), on trouve , en vertu de ce qui précède ,

sin. y cos.^a ( — sin.^ cos.yA (- r )

sin. ft =

COS./i =

(e) lang.^ = j

1 — c' sin.' y sin.'f A ( ? )a (|) -4- c'sin.y sin. cos. ? cos.^

1 — c 1 sin.' y sin.> cos. y cos. sin. y sin. 4 a (^) a (f )

1 — c' sin. J y sin. if tang.yA (|)~ tang.^A( ? )

tang. r tang. |a( ? ) a(*)

§ 19. La construction de l'ellipse génératrice facilite beaucoup celle des formules (d) et (e), qui donnent la tangente de l'amplitude jx correspondante h la somme ou à la différence de deux digamma. La formule (d) , par exemple, donne ^= ? ' -4- quand

tang. / = tang. - f A(^), tang. p' = tang. <l>±(ï) :

or, si l'on construit à la fois l'ellipse cbe (fig. 1), et le cercle epe dont le rayon est l'unité , on aura

tang. < r =«»/>, ±{ï) = ■-=:',

tang. * = m'p, a ( r ) = — ;

Ar

d'où

tang. '/ : mp bl Ar' ,

tang. y' : w'/> : : o : Ar.

De cette manière, on pourra construire par leurs tangentes trigonométrîques , les angles •/ et dont la somme /x repond à l'aire BAS , égale h la somme des aires R'AB et RAB.

Si l'on fait fi — \* dans la formule générale

dig. (y)-+-dig. (*) = dig. (fc),

les deux fonctions seront en quelque sorte compléments l'une de l'autre, puisque leur somme est égale à la fonction complète D. Alors on aura immédiatement, par la formule (Sj du § 17 , l'équation

b tang. ' f tang. ^ = 1 ;

d'où l'on déduit , pour Pcxpression de | en > r ,

cos. v b sin. - r b

sin. -p = — r-, cos. * = — — , A ; = — • * (?) (r) A ( ? )

Si l'on prend les angles • et ; l'un au-dessus et l'autre au-dessous

du petit axe de la fausse ellipse, le secteur qui répondra à leur somme , sera équivalent au quart de Taire de cette courbe. De plus t les deux rayons vecteurs p et / qui correspondent à ces angles , sont liés entre eux par une propriété que nous allons démontrer. D'après le § 16 , nous avons

|/a 4 cos.^h- U 4 siti. a y KA* cos. > sm.>

L'équation de condition l=fctang. ? lang. ^, devient a=b tang. - r tang.<^, quand le demi-grand axe de l'ellipse génératrice n'est pas égal à l'unité. Remplaçant o et b par leurs valeurs, déduites des équations

/lia* b

A — , R=Vîa

que nous avons trouvées au § 16, il viendra

A 3 cos. r cos. $ — B* sin. ^ sin. ^ = o :

multipliant entre elles les valeurs de p^eide /»'% l'équation précédente réduit ce produit à