AB

propriété analogue à celle des diamètres conjugués daus l'ellipse.

Le secteur RAB (fig. 1) de la fausse ellipse, étant toujours moindre que le secteur correspondant pris sur le cercle dont le rayon est p = AR , et plus grand que le secteur correspondant pris sur le cercle dont le rayon est AB = B , on a

<%• ? < -, dig. y > y.

Lorsqu'on sort des limites assignées à la constante c. la transcendante digamma change de nature, et se réduità des fonctions connues. Ainsi

= dig. v

V 1 — c'sin.'V devient , quand c = o ,

c'est-à-dire que le di gara m a est alors l'amplitude même. Dans le cas de c= 1 , on a

«/l/l-c'sin.'y ycos. ? U-sm. ? 7

§ 20. Puisqu'au moyen des formules du § 18, onpeutlrouver l'amplitude de la somme ou de la différence de deux di gamma , il est clair qu'on peut résoudre sur la multiplication et la division des secteurs de la fausse ellipse, les mêmes problèmes qu'on résout sur la multiplication et la division des arcs de cercle. On peut donc se proposer le problème suivant:

Assigner l'amplitude f„ , correspondante à un digamma qui mille n fois le digamma d'un arc donné f.

C'est, comme on le voit, déduire la valeur de de l'équation transcendante

Considérons d'abord le cas le plus simple , qui est celui de la duplication : il suffira de faire <p = ? dans les formules du § 18 ; ce qui donnera

2 sin-y cos.^-a(^)

sin. f =— - — — ,

1 — c'sra. 4 ?

1 — 2sin.\ -h c'sin. 4 y COS. Yi == —

tang. ( y J

1 — c'sin. 4 ?

1 — 2e ï sin. a ? -+- c'sin. 4 ^ 1 — c^sin. 4 ^ 2tang. ? A( r )

1 — tang.'y c'sin.'y tang, a y

Mais , à l'aide de la formule de trigonométrie

1 — cos. x

taiig.* x = — : ,

sin. x

la dernière expression se remplacera avec avantage par la suivante

tang. (i' r ,)=taiig. ? A(- r ).

En suivant cette marche , on trouvera successivement el , en général 9

tan &- U?™) = tan &- (?J M?J-

Essayons maintenant de résoudre le problème inverse de la duplication , c'est-à-dire de déterminer ? au moyen de Pour cela , il faudra résoudre par rapport à sin. , l'équation

1 — 2sin.'ç, h- c'sin. 4 ^

fi =

en se rappelant que

cos. y, = j-— :

A (?,) = V / l-c ï sin. î ' r , , on trouvera successivement

,i„. - ld =MrO [ldrA(, 3 )] [lrpA^JJ

c J (l+cos.' fï ) c'(l- t -cos. fî )[lz F A( ? . i )] sin.'

sin.^. =

2co8.'i ?J ,Llq=A( ?a )]

sin. sin. i- ^,

Cette formule donne pour sin. ? deux valeurs, parce que l'angle ? a et son supplément ont le même sinus. Si l'angle <p , est aigu , on prendra le signe inférieur, puisque c'est celui qui donne la plus petite valeur pour sin. f . En appelant, par analogie, l'amplitude du digamma qui est égal à la moitié de celui de f , on aura

sin. a ?

sin. ?x

Si l'on fait c sin. r =sin. £, ce qui donne a (y) = cos. £, on aura plus simplement

sin. i ?

sin. i. i ,

r ' cos. K '

et Ton satisfera ainsi à l'équation

Passons à la recherche des amplitudes correspondantes à des multiples quelconques de dig,?.

Soient deux amplitudes qui, d'après la notation

adoptée, répondent aux fonctions

»g- (»-<-*) di C- * di g- ? = d «g. (?«) <%• (?/),

dig. ( rn J = (»- 0 dig- V = » <%• f - * <%• ï M - dig. :

nous pourrons faire usage des formules du § 18, en y écrivant au lieu de - t , et y. au lieu de ■} ; ce qui donnera

sin. (v„)cos. (tri) a rb sin. (- r ,)cos. a (- fn ) 8IU * (r "=b' } ~ 1- C 'sin.'( y „)sin.'(f/) '

cos.(?,,)cos.(? t ) q=sin.(v„) sin, (y,) A (?„) a („) cos> ton*:? — 1 -c'sin.'^sin.'y ;

d'où

2sin.( ?/t )cos.(^ )A( v/ ) «o. ( W| ) -h «n. ( ?n J ~ i — T - i -^ in — ,