COS. ( ?B ) COS
«»• +COi -^-i» Œ l-^i„.-(. rli )«n.-y 1 *
et, en divisant ces deux formules l'une par l'autre ,
tang.£( w , -t- r„ < )= lan g'(r«) A (v.)- Soit , pour abréger,
2A( r )cos.» r =/), 1 — c' sin.* r = </, c sin. 4 v — r .*
on trouve , pour la suite des sinus , P .
sin.o, = — si n -j ,
» — rt'
sin «f 3 = — ~ sin. ? ,
q — rp*
s.n. P4 = fgs.n.y,
et pour celle des cosinus , on a , en faisant de plus s — \ — 2sin. a ? r=2cos. i î . —9:
COS.y, = - .
cos.^ = ; — cos. v ,
q -rp
r(»V-Vy»)(^-^i-fp') -»
etc.
Connaissant la suite des sinus et des cosinus , il sera aisé d'en déduire celle des tangentes , des cotangentes ou de telles fonctions trigonométriques que l'on voudra.
Lorsqu'il s'agira de calculer fH par le moyen de ? , on emploiera la formule
tang.* ( ?n+| + = A taDg. ?n ,
d'où l'on tire
tang. | f 3 =>Atang. ? , tang.(i ?3 - + -i î; ) = Atang. ?a , tang. (i ?4 -f- 1 ?a )= a tang. -j.- ? , etc.
On connaîtra ainsi successivement, par un calcul très-simple, les valeurs de y,, ? 3 , etc.
§ 21. La division d'un digamma donné en un certain nombre de parties égales , est un problème algébrique qu'on résoudra par le développement des formules qui servent à la multiplication. On a déjà vu les formules pour diviser par S ou par une puissance de 2. Supposons qu'on veuille diviser en trois parties égales un digamma quelconque : on désignera son amplitude par f 3 , et <j> sera celle du tiers de ce digamma. On aura donc pour déterminer sin. y, l'équation
sin.( ?3 )= V — — sin. ?
q —rp
4(1— c T sin.%)(l— sin.\)-(l-c'sin.^) a .
~~ (1— c 9 sin. 4 - r ) a ~4c , sin. 4 v (1-c , sin.\)(l-sin.\) Sm,?,
qui s'élève au neuvième degré. Elle serait du vingt-cinquième pour la quintisection , et ainsi de suite.
Les équations sont moins élevées de moitié, lorsqu'il s'agit de diviser un digamma complet en un nombre impair de parties. H en est , à cet égard, de la division des digamma comme de celle des arcs de cercle: tandis que la division d'un arc quelconque en m parties égales , exige la résolution d'une équation du w m0 degré , celle du quart de circonférence n'exige que la résolution d'une équation du degré
Supposons , en général , ^=|t, afin qu'on ait dig. f — ~ D : en faisant
D = dig. o
on aura
dig. ? -v- dig. ?n t = D,
et, par conséquent (§19),
otang.y tang. ?n , = l ;
d'où l'on déduit
^"g-fn^.— ^^-f^ang-y^ ^^^^-'rst^S-^.s^ £ cot *'r5> elc -
Si Ton change successivement n en n — 1 , n — 3, n — 5 , etc. , dans la formule générale
tang. (i VjH .i * ) = a tang ?|| ,
démontrée au § précédent , il viendra (à cause de ?a s=$T )
tang. (£ r -t- 1 ?n 2 ) = a tang. ?n ( = ~ cot. ? ,
lan C-(*?„ 2 + * ?„ 4 ) = A ?„ 3 cot ' ?a ' etc.
De là résultent des formules assez simples pour déterminer » ?n-4 » etc * » développant celles qui donnent cot. ? 3 , cot. ? s , etc., on aura , par la rencontre de ces deux suites, l'équation qui doit déterminer y , et le calcul sera moins compliqué que par le développement de sin. ou de cos. r „.
Par exemple , lorsque n = 5 , il faudra éliminer £ r3 entre les deux équations
tang.(£ f 3 )=jCot. y , tang.(i ?3 -f4 v )= a tang. ^ = —cot. ^3, et mettre ensuite, au lieu de cot. ? 3 , sa valeur
cot. f
déduite des équations du § 20. Cependant , il sera plus avantageux , dans ce cas particulier , de remplacer tang. o a par sa valeur
2 a sin. ? cos. y
1 — 2 sin.* y -h sin. 4 ? ' tirée du même paragraphe. On obtiendra ainsi, en faisant sin. ?=#, }+x __ l-t-2# — 2c'# 3 — c*x k
équation pour la quintisection de D , laquelle , étant entièrement développée, montera au degré 12 = ^"-.
§ 22. Nous venons de voir comment on trouve la relation entre ?/1 et y pour que dig. (yj = n dig. y , n étant un nombre entier. S'il fallait trouver la relation entre - f et >p pour que dig. | = ^ dig. », m et n étant entiers, on prendrait un angle auxiliaire w, tel qu'on eut à la fois * dig. |=dig. a, et m dig. ^ = dig. a. La première condition donnerait une équation algébrique entre les sinus des angles p et cj ; la seconde en donnerait une entre ceux des angles ^ et a : d'où , éliminant a , on aurait la relation cherchée entre f et En général , on pourra toujours satisfaire, par une équation algébrique, à l'équation transcendante
m dig. y n dig. 4 j> dig. u -t- etc. = o.
Pour le démontrer , nous poserons
m dig. f =: dig. / ,
n dig. ) = dig. ^ ' ,
p dig. « = dig. «' , etc. j
ce qui donnera
dig. / -4- dig. </ -+- dig. a' -4- etc. =■ 0.
La question sera ramenée à trouver les relations algébriques qui correspondent aux équations précédentes : or , on sait comment il faut s'y prendre pour les premières ; et quant a la dernière , on la décomposera en d'autres qui n'aient que trois termes. Supposons, pour fixer les idées , qu'elle n'en ait elle-même que trois : on posera
et il viendra
dig. fi! h- dig. w' = o.
En chassant y! des équations algébriques qui correspondent à cellesci, on obtiendra une résultante algébrique entre les sinus et les cosinus des arcs y', y et a. On la combinera avec les équations algébriques qui répondent aux équations (6) , pour éliminer y', ^' et w', et l'équation finale sera la relation demandée.
§ 23. Étant donnés le modulée et l'amplitude y, on peut trouver, par une construction géométrique assez simple , l'amplitude y n qui convient à la fonction dig. (c, f n ) égale à n dig. (c, ? ).
Construction. Sur la circonférence, décrite du centre C(fig. 3) avec un rayon égal à l'unité, prenez l'arc AM 1 égal à 2* ou 2?, ; prenez ensuite , à compter de la même origine A et dans le même sens , l'arc AM,M a égal à2? a ; tirez la corde M t M a , et divisez en deux parties égales l'angle AM,M a , par une droite M,D , qui rencontrera en D le rayon AC prolongé. Du point D comme centre , et du rayon DO, perpendiculaire à la corde AM, , décrivez une seconde circonférence qui touchera les deux cordes AM t , M,M a . Cela posé, si du point M 3 , on mène au petit cercle une troisième tangente M,M 3 , qui rencontre la grande circonférence au point M 3 , ce point M 3 déterminera l'arc AM 1 M a M 3 = 2? 3 , dont la moitié y 3 servira à la triplication du digamma de p; de sorte qu'on aura
<%• (c, f3 ) = 3dig.(c, y ).
De même, si du point M 3 , on mène une nouvelle droite M 3 M 4 , qui soit à la fois tangente au petit cercle et corde du grand , on connaîtra le point M 4 , qui déterminera l'arc AM I M a M 3 M 4 = 2? 4 . Continuant ainsi indéCniment , on formera un polygone , dont chaque côté sera tout à la fois inscrit dans la grande circonférence , et circonscrit à la petite. Ce polygone déterminera, par les sommets M,, M a , M 3 , etc., de ses angles successifs, tous les arcs 2?,, 2 ?3 , 2? 3 , etc. , dont l'origine est commune en A, et qui, à compter du second, serviront à multiplier le digamma proposé par les nombres 2, 8, 4,5, etc. , jusqu'à telle limite qu'on voudra ; d'où il suit que v par une construction géométrique qui n'exige que la règle et le compas , on peut parvenir à déterminer l'amplitude y n , qui satisfait à l'équation
dig. (c,y„)t=:ndig. (c, f ) ,
n étant un nombre entier quelconque.
Les données dont nous avons fait usage, sont l'amplitude et l'amplitude ? a de la fonction double dig. (c, ?a ). Pour construire cette dernière amplitude , nous remarquerons que, par le § 20 , on a
tang. i ?J = a( ? ) tang. - r .
Cette expression étant comparée à la valeur de tang.?'=tang. f^ du § 19, on voit sur le champ que, si l'on prend ^=y, devient égal à l? a . Par conséquent, en vertu du méme§, on aura la proportion (fig. 1)
tang. £y, :»!/>:: Z> ; Ar;
ce qui réduit la construction de tang. \ ? , , à celle d'une quatrième proportionnelle , et du rayon vecteur de l'ellipse génératrice.
Démoîistr at ion . Pour plus de généralité, fious supposerons qu'après plusieurs circonvolutions du polygone , les deux sommets consécutifs M a etM 3 , représentent les extrémités des arcs 2y«i, 2^„. Si le polygone n'avait pas achevé une révolution , pour parvenir du point A au point M, , l'arc AM 3 M, serait 2r — 2?„i ; si, pour arriver au même point M, , le polygone a fait i révolutions , le même arc AM 3 M a sera
Dans cette dernière hypothèse , qui s'applique à tous les cas, Parc AM 3 sera pareillement 2r («-*- 1 ) — 2?„.
Nous dénoterons, pour abréger, par e la distance CD, et par r le rayon DO du petit cercle.
Joignons , DM, , DM 3 , AM, , AM 3 , pour former les triangles ADM,, ADMj, DM, M 3 . Dans le triangle ADM, , on a , pour les deux cotés AD et ÂM a ,
AD=l-t-e, AM a = 2sin.£ arc AM 3 M a = 2sin. (ri-*- x— ?„,)
e=2sin. f n x cos. ri.
L'angle compris DAM a a pour mesure
* BM a = i ( AM 3 M, -*) = ri + ^- ^ ,
et le troisième côté DM, , est donné par la formule
(DMJ 1 = ÂD a -f- ÂïC — 2ÂD X AM, cos. DAM, = (l-+-c) J -+- 4sln.' î ; n I
--2(l-»-e)x2sin.' r/f i cos. Ttcos. ^*-+-^— J •
Mais
cos. | ni ~ — s= cos. r» sin. :
donc , en réduisant et en observant que cos. Vi = 1 ,
et semblablement
(DM 3 ) a = (l+e)» — 4«8in.V
Avec le s deu x cAtés DM a et DM 3 , que nous appellerons p et g, et le troisième M a M 3 =2sin.( ? w — ? )— y , on trouvera l'aire du triangle , par la formule connue
Cette même aire ayant pour expression | ry, on aura
substituant les valeurs
y=2sin.( ?rt -?„,), /j'-+-^ = 2(1 -t-e)' — Msin.V-t-sin. 5 ^.-^ ^-^^^(sin.^.-sin.^.J^^sin.^^^Jsin.^-^J, il viendra
~4e'sin.'( ? „ + Pn i ),
ou
r^cos.'^-^Jn-Secos.^-^Jcos.^^
+ « , coa.'( ?H -h ?ji | ); et , en extrayant la racine carrée, on obtient ce résultat .très- simple r = cos. ( ?n - y n t ) e cos. ( ?H ) ,
ou
r= (l + c )cos. ïn cos. + (1-e) sin. ?/l sin.
Maintenant , si l'on se rappelle que l'équation transcendante
diç.ft — dig. v = dig. ? , „
est satisfaite par l'équation algébrique (§ 17)
cos. /cicos. v -+- sin. yusin. v. a(^)=cos. y ,
on voit qu'en faisant /* = y n , et » = , l'équation précédente s'accorde avec la valeur que nous venons de trouver pour r, si l'on a
— =Mr), et ^—i-f:
il nous reste à prouver , que ces deux équations sont précisément celles qui résultent de la construction des quantités r et e.
Puisque l'arc AM,= 2y, on a BM x = r — 2 y, et l'angle À du triangle rectangle ADO est égal à \x — ? : donc
(7) . . . AO = (1 -t-e) sin. ? , DO = r = (ln-e) cos. y.
D'un autre côté , la corde AM t =2 sin. ? : donc
OM I = AM I — AO = 2sin. ? — (1-4-e) sin. f = (l — e)sin.?,
(8) . . . . tang. OM,D =— *— = cot « ?•
v ' ° (1 — e) sin. ? 1— e
Suivant notre construction, l'arc AM 1 M a = 2y a ; et, par conséquent, le reste de la circonférence AM 3 M 3 = 2t — 2 ?a ; ce qui donne jt — f 3 pour mesure de l'angle AM,M, , et |jt — pour mesure de l'angle AM,D , moitié de AM,M,. On a donc
tang. AM,D = cot. Jf,.
Celte valeur de tang. AM,D, comparée à l'équation (8), donne
(9) tang. i ?a = y-j-^ tang.? ;
mais, comme l'amplitude £? a se détermine parla formule
(10) tang. * ?a = A(- f ) tang.
on voit que les équations (9) , (10) et (7) , s'accordent à donner
ce qu'il fallait démontrer.
Il suit donc de notre construction, que deux sommets consécutifs du polygone indéfini qui en résulte , sont tels que si le point M, termine l'arc 2j>*i , le point suivant M 3 terminera l'arc 2?„. Or , dans l'origine de la construction , on a désigné par M 3 le point qui termine • l'arc 2?., : donc , alors , le point M 3 a dû terminer l'arc 2^ 3 ; et ainsi , en prolongeant le polygone indéfiniment, on obtient successivement toutes les amplitudes y a , ? 3 , etc., qui servent à la multiplication de la fonction dig. (c, ? ) , suivant l'équation générale
( c > ?») = »dig.(c, ? ).
Nous remarquerons que, pour ne pas tomber dans des cas où lu construction deviendrait embarrassante, on pourra toujours se borner au cas, où l'amplitude donnée ? est moindre que \x ; car toute amplitude plus grande que £*r, peut être représentée par ir± y étant moindre que \r : alors, la fonction correspondante est égale à 2ïD(c) ±: dig. (c, y), et cette fonction multipliée par n, devient
2m'D (c) db dig. (c,
Lorsqu'on prend f =|r, le rayon du petit cercle r devient nul , et le polygone , dont le premier coté se confond avec le diamètre AB, a tous ses côtés superposés sur ce même diamètre : alors la construction est sans objet , puisque le digamma proposé est égal à la fonction complète D(c) , et que la valeur y—ir , donne ^ n T=\nr.
La construction géométrique que nous venons de donner , appartient à M. Jacobi, professeur à l'université de Kœnigsberg, auteur d'un ouvrage intitulé Fundamenta nova theoriœ functionum ellipticafum, qui renferme un grand nombre de découvertes importantes dans la branche d'analyse qui nous occupe. Remarquons , que cette construction pourrait servir à trouver la valeur approchée de tout digamma , dont l'amplitude serait donnée , en faisant connaître son rapport avec le digamma complet. En effet, si l'on continue à tracer les différents côtés du polygone, jusqu'à ce qu'on trouve, dans la suite des sommets M a , M 3 , M 4 , etc., un point M n qui soit très-près de
Tune des extrémités du diamètre AB , il est visible qu'en comptant les circonvolutions du polygone, on saura combien il y a de demicirconférences dans l'arc 2?,, , termine au point M„. Soit m le nombre de ces demi-circonférences, on aura donc, à très-peu près, 2p„ = mT : par conséquent, dig. (c, ?w ) ou n dig. (c, f)=mD(c), et
dig.(c> T )'=^ D(c);
valeur aisée à évaluer numériquement, au moyen de la table des digamma complets , calculée par Legendre , qui se trouve dans le tome II du Traité des fonctions elliptiques , et dans le tome III des Exercices de calcul intégral du même auteur. Dans tous les cas, il sera facile de tenir compte de la petite distance qu'il peut y avoir entre le point M„ et l'un des points A et B, pour en déduire une valeur encore plus approchée de la fonction dig. (c , f„) ; et, par conséquent , de la fonction proposée dig. (c, y).
§ 24. M. Jacobi a publié en 1836, dans le Journal de M. Crelle, la formule suivante, qui donne le sinus de l'amplitude correspondante à la somme de trois digamma ,
sin.amp.(p)sin.amp.(ç)-»-sin.amp.(r)sin.amp.(p-»-g-4-r) — sin.amp.(/?-f-r)sin.amp.(ç-i-r) =
sin. amp. (p) sin.amp. (q) sin.amp. (r) X sin . amp . (/> -f- r) sin . amp. [q r) sin . amp. {p -+-5-4- r) .
Pour la démontrer, nous remarquerons que la formule (a) du § 18, peut s'écrire sous la forme
sin. amp. (u-t-v) =
sin.amp.(«)co8.amp.(r)Aamp.(t!)-t-sin.amp.(r)cos.amp.(M)Aamp.(u) 1 — c" sin.' amp. (m) sin. ' amp. (v)
ce qui donne , en posant
isîn. amp. [p •+■ q -+- 2r) X [ 1— c* sin. 'amp. (/)-f-r)sin.*amp [q-^r)"] — sin. amp. (/?-*-»•) cos. amp. (q-t-r) A amp. (</ +- r) sin. amp.(g-t-r)cos. arap.(/?-f r) a amp. [p f r).
Or, si l'on différcntie par rapport h r, le produit
I7=sin.amp. (p-*-r) siu. amp. [q -*-r) ,
on trouve , pour résultat ,
^ ( sin. amp. (p+ r) cos. amp.( q +r) d. amp. (9-4- r) j (-t-sin.amp. (q+ r) cos. amp. (p-nr)rf. amp. (p-t-r) )
et comme , en général ,
d, amp. « = dx» à amp. a;,
on a
cf. amp. (9-4- r) = A amp. (y -t- r)cfr, «/. amp. (ja-4- r)= a amp. (p h- r) rfr.
% Substituant ces valeurs dans celle de dn , on voit sur-le-champ , que ^ est égal au second membre de l'équation (II), qui devient, par cette remarque ,
/ sin. amp. (p-t-ç-*-2r ) =
(12) < d. [sin. amp. (/7-+-r)sin.arap. (e/-M')]
' rfr[l — c'sin.'arap. (p+rjsin.'amp. (g-4-r)]
Comparant cette expression à l'intégrale générale
/» dx 1 / 1 -f-cx\
on voit que
y sin. amp. (/)-t-ç-+-2r) «fr =
1 j" 1 H-csin. amp. (p-4-r)sin. amp. (ç-4-r) 1 2c L 1— csin.amp. (/>-4-r) sin. amp. (q+r) J
const.
Pour déterminer la constante arbitraire, je supposerai que l'intégrale précédente s'évanouit quand r = 0; ce qui est permis, car si l'on développait la fonction sin. amp. (p-\-q 2r) en série ordonnée suivant les puissances de r, on obtiendrait , en multipliant tous les termes de celte suite par dr et en intégrant , une nouvelle série qui procéderait suivant les puissances de r, et dans laquelle aucun terme ne deviendrait infini par l'hypothèse de f = o. Mais cette
même hypothèse, réduit p+r et g+r, à p et à g respectivement ; et la constante se trouvant déterminée , la formule précédente devient
y sin. amp. (p+q -4- 2r) rfr
1 r ln-csin.arap. (p-+-r)sin.arap. (g+r) ~| 2c | 1 — csin.amp.(/>-+-r)sin.amp. (g-*-r) J
1 (" 1 -+-csin. amp. [p) sin. amp. (g) ~| 2c L 1— csin. amp. (p)sin. arap. (g) J
Dans cette équation , le premier membre ne change pas de valeur tant que la somme p+ç+Sr reste invariable ; ce qui aura lieu , si Ton pose g=o , et que Ton remplace en même temps p par p+g .* il doit donc en être de même du second membre. On conclut de là , en passant des logarithmes aux nombres ,
[l-Hcsin.amp.(p-4-r)sin.amp.(g-4-r)"J [1 — csin.amp.(/))sin.amp.(çY] [l — csin.amp.(p-+-r)sin.amp.(g-t-r)] [l+csin.amp.(p)sin.amp.(g)]
1 -+-csiu. amp. (r) sin. amp. [p+q-*-r) 1— csin.amp. (r) sin. amp. {p + q+r)
Si l'on représente le premier membre de cette dernière équation , par
P + cQ P — cQ '
les polynômes P et Q ayant pour valeurs
P=l— c' sin. amp. (p) sin. amp. (g)sin. amp(p-4-r)sin. amp.(g-t-r), Q= sin. amp. {p-\-r) sin.amp.(g-t-r) — sin. amp.(p) sin. amp. (q),
la comparaison de cette fraction avec le second membre , fournit la relation
Q= Psin.(r)sin.amp. (p-*-g-f-r);
d'où l'on déduit immédiatement la formule de M. Jacobi.
Ou peut donner à cette même formule une forme symétrique, en posant
elle devient alors
sin. amp. (w—x) sin. amp. (y — z) ■+* «in. amp. (w— y) sin. amp (*— x) -4- sjn. amp. (w— z) sin. amp. (a:— y) -+- c'sin. amp. [w — x) sin. amp.(t<?— y) X «in. amp. (u? — z) sin. amp.( x — y) X sin. amp. (y— z) sin. amp. (2— x)
§ 25. La fonction digamma jouit d'une propriété, dont nous ferons un fréquent usage dans la suite, et à laquelle les autres fonctions elliptiques participent d'une manière analogue. Cette propriété est exprimée par l'équation
dig.(c, v )=l/=ïdig. (&,/), à laquelle on parvient en posant
sin.yssV'— ltang. ? ',oucos.? = •
^ COS
Si l'on fait
dig. (c, ? ) =p , dig. (c, * )=o , dig. (c, « ) =r ,
dig. (0, /) =,>' , dig. (6, =0' , dig. (0, a') = r- ,
on voit que l'on pourra changer p, q, r, en
pourvu que l'on remplace, en général, sin. amp. (c, u) , par V — l tang. amp. (6, u'). Cette transformation, appliquée à la form ule (f ) , donne pour résultat, en divisant les deux membres par V — 1 , en supprimant les accents, et en permutaut les modules b et c,
tang. amp. (p) tang. amp. (q) -+- tang. amp. (r)tang. amp. (p+q+r) — tang. amp. (p+r) tang. amp. (<j-*-r) =
6 3 tang. amp. (p) tang. amp. (q) tang. amp. (r)
X tang. amp.(jt> -f- r) tang. amp. (g -4- r) tang. amp. (/»-*- 9-*- r).
Dans le cas où b — 1 , les digamma se confondent avec leurs amplitudes, et l'on a la formule trigonométrique
tang. ? tang. f-4-tang.wtang.(y-*-^-f-w)— tang.( ? -*-w)tang.(/.-*-w) =tang. ?tang. $ tang. u tang. (p-i-a) tang. (/-4-6))tang.(yH-^-+-w).
§26. L'éq uation sin. ?=l/—l tang. •/, qui change />=dig. (c, ? ) en p'V r ^\ = V — 1 dig.(6, ? '), étant écrite sous la forme
sin. amp. (c, />) = V—\ tang. amp. (6,j/J,
si l'on fait / = on aura/>'=D(6) , et (à cause de />=/>' l/^î) ? j = |/ZTD(o) :donc
sin. amp.[c,^— 1 D(o)]=V/ — 1 tang.£ r= co .
Ce résultat, dû à l'amplitude imaginaire V^-i D ( b ) , parait fort singulier ; mais il n'est qu'un cas particulier de la formule générale
sin.amp.[c,/>-f-|/^ÏD(o)]r=-^ — ,
csin. arap.(c, p)
que nous allons démontrer.
Soit la formule
sin. amp.(p+q)
sin. amp./? cos. amp. q Aamp.ç+sin.amp.g cos.amp. jDAamp./> 1— c 1 sin. a amp. p sin. 1 " amp. q
si Ton y fait q = V '— 1 D(Z>), ce qui donne sin. amp. q — » ,
cos. amp. q —V'i — sin.' amp. q = \S — 1 sin. amp.
a (amp. 9/) = V l — c 3 sin. J amp.g= \/—\ csin. amp. q,
cos. amp. q a amp. q = — c sin. a amp.
on aura
sin. amp.
— c sin. ainp.p sin. 1 amp. q -+- sin. amp. q cos. amp. /? A amp. p
— c 1 sin. 5 amp. p sin. 3 amp. q
csin. amp. p
Cette formule est l'expression d'un théorème fondamental , d'où se déduisent plusieurs propriétés des fonctions elliptiques. On en tire d'abord , en y mettant p -4- V — 1 D (6) à la place de p ,
sin.amp.fp+aV^I D(Z>)]= — ' — = sin.amp p;
csin.amp.[/?-t-K — lD(o)J
mettant, dans cette équation,/?-»- 2k — lD(o) a la place de/?, on aura de nouveau
sin.amp.[^-+-4V / —lD(o)]=: sin.amp. [/>-»-2l/ — 1 D(fc)=sin.amp./? ;
donc, en général, m' étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif, on aura
(13). . . sin. amp. [/>-*- 2 m'I/ — 1 D (©)] = sin. amp. p :
ainsi, Tonne change point le sinus de l'amplitude, quand on ajoute au digamma , ou qu'on en retranche, la quantité 2m' V — 1 D
D'un autre coté, quelle que soit l'amplitude, la fonction /?-+-2D pourra être remplacée par dig.(- r -+-;r); et, puisque siu.(?-t-x)= — sin. y, il s'ensuit qu'on a , en général ,
sin. amp. (/>-+- 2D)= — sin. amp. p:
donc, en mettant /?-*-2D à la place dep, on aura aussi
sin.amp. (p+ 4 D)= sin. amp./).
De là résultent évidemment les deux formules
sin. amp. [/? -+- (4m -4-2) D]= — sin. amp./?, sin. amp. [/? -+- 4mD] = sin. amp./) ,
m étant un nombre entier quelconque , positif ou négatif.
Portons maintenant, dans ces deux formules , /9-+-2m'V / — 1 D(b) à la place de/?/ et nous aurons, en vertu de l'équation (13; , ces deux nouvelles formules
sin.amp.[/ï-i-(4m-<-2)D-»-2m'V / — 1 D(6)]= — sin.amp./?,
sin.amp.f/?-t-4mD-»-2m / K / — 1 D(o)]= sin.amp./?,
qui ont lieu , quels que soient les nombres entiers m et m', positifs ou négatifs, et qui contiennent ainsi une propriété très-générale de* fonctions elliptiques de la première espèce.
§ 27. La relation
(14) . . cos. ? cos. ^ — sin. y sin. c'sin.'/c* = cos. ft t
que nous avons obtenue entre les amplitudes, qui entrent dans l'équation transcendante
dig.yH-dig.^dig.^,
peut être rapportée à un triangle sphcrique.
En effet, dans le triangle quelconque f t/u. {fig . 4), on a , par les formules connues,
cos. f cos. ^ •+- sin. y sin. ^. cos. M =cos p ;
équation qui devient semblable à (14), si cos. M= — l/l — c'sin.Vî ce qui exige que l'angle M soit obtus. On tire de la dernière condition : c= jj-jj 1 -^. Par conséquent , les trois côtés représenteront les trois amplitudes, si , V angle M étant obtus, son sinus est au sinus du côté opposé, dans le rapport du module à l'unité. La même condition devrait avoir lieu , dans le cas où Ton aurait
<%.? — dig.* = dig./u ;
mais alors l'angle M serait aigu.
