CHAPITRE IV

Propriétés générales des epsilon de même module.

§28.De même que les di gamma, les epsilon peuvent être représentes par des secteurs de courbes polaires. En suivant une marche semblable à celle que nous avons tracée au § 16, on trouve, pour équation de la courbe des epsilon ,

En appelant B , Taxe de cette courbe qui correspond à f =o (axe que nous supposerons horizontal comme dans la fausse ellipse), et A , l'axe qui correspond à ç>s= on obtient

ainsi , Taxe horizontal est le même , pour la courbe des epsilon , et pour celle des digamma ; mais l'axe vertical A est moindre que B ; ce qui nous apprend que la courbe , au lieu de s'allonger dans le sens vertical, comme la fausse ellipse, a au contraire une forme aplatie. Soient ? et ^ deux amplitudes telles , qu'on ait

dig.y H-dig.*=D, ou , ce qui revient au même (§ 19) ,

otang. ?tang. f = 1,

les carrés des rayons vecteurs p et / , que nous supposerons correspondre respeclivement à ces amplitudes , auront pour valeurs

d'où

/>V*= -4a(c, f )A(c, ^)=4& = A'B l , et , par conséquent ,

p p = AB.

Cette égalité est la traduction algébrique de la propriété suivante :

Lorsque deux rayons vecteurs, situés l'un au-dessus et l'autre audessous d'un même demi -axe horizontal de la courbe des epsilon , comprennent un angle égal à la somme des amplitudes de deux digamma complémentaires, le rectangle de ces rayons est constant, et équivaut à celui des demi-axes.

Il résulte de la forme aplatie de la courbe des epsilon , qu'on a

cps. f <Cf i eps. f > j»a.

Si Ton désigne par R=-~y le rayon vecteur de l'ellipse mentionnée au § 16, on aura p 9 =~ : ainsi, l'ellipse génératrice de la courbe des digamma, servira également à la construction de celle des epsilon ; mais nous allons trouver une relation bien plus intime entre cette ellipse et la fonction epsilon.

§ 29. Soient (fy. 5)

ÂC =CD = 1 , Cb = b = ]/l^7' ,

l'ellipse ACB aura pour équation

Si l'on fait x — CV = M'E égal à sin.y, et y égal à 6 cos.p = MP , cette équation sera satisfaite , et l'on aura

fVdi^df = fd ? VX-c 1 ain.'y :

ainsi , tandis que l'arc de cercle M'D représentera l'amplitude ? , l'arc d'ellipse MB représentera la fonction cps. (c, f).

C'est à cause de cette propriété , que l'on a nommé fonctions elliptiques , les transcendantes qui dérivent de la formule générale H du § 8.

L'exactitude de cette dénomination se confirme h l'égard des fonctions de la première espèce, car on prouvera au § 90 , que tout digamma peut s'exprimer par deux arcs d'ellipse. Cependant, elle est impropre à l'égard des fonctions de troisième espèce, qui ne peuvent s'exprimer par des epsilon ou par des digamma, que pour certaines valeurs particulières de n, de c, et de f.

§ 80. La propriété fondamentale des digamma consiste en ce que l'on peut assigner algébriquement l'amplitude de la somme ou de la différence de deux digamma donnés. Les arcs d'ellipse sont, de toutes les autres transcendantes , celles qui approchent le plus de jouir de la même propriété, mais non d'une manière absolue. Ainsi , deux arcs étant donnés sur une ellipse , à partir de l'extrémité du petit axe où ? = o, on peut trouver algébriquement, non pas un arc égal à leur somme , mais un arc égal à cette somme moins une quantité algébrique ; ce qui prouve , que les epsilon sont des fonctions d'une nature plus composée que les digamma. On doit donc regarder ces derniers , comme tenant le premier rang, après les arcs de cercle et les logarithmes.

Soient v , <l> , et ft , trois amplitudes liées entre elles par l'équation transcendante

(1) . . . . dig. ? -t-dig. f — dig.^ = o, ou par l'équation

(2) . . . . cos.^cos.^ — sin.^sin.| a (yu)=cos. /u,

qui en est la traduction algébrique. Pour que la propriété , que nous venons d'attribuer aux arcs d'ellipse , soit vraie , il faut que l'on ait

(8). . . . eps. -+- eps. <p — eps./K=P,

P étant une quantité algébrique. Celte équation , différentiée dans l'hypothèse de ft constant, donne

(A). . . . A ( ? ) A(*)cty=cJP.

Changeons simultanément f en — } dans les équations (1) et (2), et rappelons-nous que

dig. (— = — dig. + , cos. (— } ) = cos. (f) , sin. (— <p) = — sin. $ : nous obtiendrons , pour transformées ,

dig. f — dig. f — dig. /i =o, cos. f cos. ^ -f- sin.? sin. ^A(ya)=cos. yu.

Permutons maintenant ^ et f , dans les deux équations précédentes , et il viendra

dig. f — dig. fc — dig.^=o,

(5) . .. . . cos* f cos. ft -f- sin. ? sin./iA (^)=cos. <f>.

Changeons dans celles-ci , ^ en— * : nous trouverons, en observant que a(— ^)=a(*),

(6) . . . . dig. f-f-dig.^ — àig.fi=o,

tandis que l'équation (5) n'éprouvera aucun changement.

Il suit de l'identité des équations (1) et (6) , que les équations (2) et (5) sont également identiques. Et , comme il est permis de permuter ? et ^ dans l'équation (6) , on pourra le faire également dans l'équation (5), qui deviendra

(7) . . . . cos. ^ cos. -h sin. f sin. p. a( ? )=cos.p.

Si nous tirons des équations (5) et (7) , les valeurs de A (?) et de A (</<) , pour les reporter dans l'équation (4) , nous obtiendrons

. / COS. 9 — COS. ii*COS. u\ . /cos.4 COS. o COS. u \

dV = d ? h : -+- cty -I ,

\ sin. <psm.fx. J \ sin. f sin. ft J

ou , en réduisant le second membre au même dénominateur,

^(sin.^cos.ç— sin.^ccs.^cos.^-H^^sin.dcos.^— sin.^cos.fcCOS.A)