IV
sin. ? sin. f sin. p.
'£ol(sin.*f.-t-sin. , 'j> -h 2cos. r cos. <f cos./*)
sin. ' T sin. ^ siu. ju
Mais de Péquation (2) , on déduit, en dégageant A (/x), puis en élevant les deux membres au carré ,
/ COS. 9 COS. — COS./te\ a
1 — c*sm.> = : : ;
\ sin. ? sm. <// /
d'où
sin. a 9M-sin.>+2cos.A«cos.çcos.<i==l-*-cos. a /w+c , sin.>sin. 9 çsin.V,
et , par conséquent ,
^(c'sin.^usin.^sin.'^) . .
dP = — — — ■ = c a (sin./£sm. » sin. <M :
sin.^sin. <psin. ;
donc
P=c 3 sin./asin. ?sin. <p -+- const.
Pour déterminer la constante, nous remarquerons que, si l'on porte au lieu de P , la valeur précédente dans l'équation (3) , il viendra , en supposant ? = o,
esp. <p — eps. fi = const. ;
mais cette même hypothèse de v = o, change l'équation (t) en dig. } — d'iQ./x=o; d'où ^—/u., et, par conséquent,
eps. <// — eps./u=o .*
ainsi la constante dont il s'agit est nulle , et l'équation (3) devient
(8). . . eps. f •+■ eps. <p — eps./£ = c' sin. ç sin. <J» sin. /u.
C'est la formule générale , qui servira à comparer entre eux les epsilon , comme nous avons comparé les digarama.
§ 31. La remarque que nous avons faite au § précédent, sur la nature composée de la fonction epsilon , va se trouver confirmée par la transformation imaginaire de sin.® en \S — 1 tang. f. Cette transformation donne sur-le-champ
i^sin/t// dp
sin.'ti a (b,$)
En comparant cette formule à
'A-4-Bsin.^ dp
1 |/l-i'8in.'/ qui donne (§ 8)
H = -dig. (6, *) -f- kap. (n, 6,
il viendra
(9). . . eps.(c, = [4 a di ff .(4,*) + c'kap.(— l,6,f)]: or, on a
kap. (-1 , 6, 0= / n . . ,
y COS. 3 /* A (6, ^)
intégrale dont la valeur , que l'on trouvera au § 43 , est
substituant cette valeur dans l'équation (9), il vient , après réduction ,
(1 1) . eps. (c, f ) = V 7 — 1 [dig. (6, }) — eps. (fc, à (6 , tang.
ainsi, tandis que la fonction dig. (c, ç.) peut s'exprimer au moyen de la seule transcendante dig. (6, ^ ) , la fonction eps. [c, f) ne peut s'exprimer qu'à l'aide de deux transcendantes, plus une fonction trigonométrique.
§ 32. Puisque la même amplitude répond à la fois à un epsilon et à un digamma, il s'ensuit que l'un peut regarder l'epsilon comme une fonction du digamma de même amplitude. Posant donc
P =di&*.p, 9=dig.^, nous écrirons , au lieu de
eps. ç>, eps. <l> ,
les symboles
eps. amp. j», eps. amp. g, et l'équation (8) prendra la forme
(12) . . . . eps.amp/) H-eps.amp.ç — eps. amp. (p q)
= c' sin. amp. p sin. amp. q sin. amp. q) ;
d'où l'on conclura , en général ,
eps.arap.r-4-eps.amp.(p-4-a) eps. amp. -4- 9: -4- r) = c 1 sin. amp. r sin. amp. (/)-4-ç)sin. amp. (p 4 9 -*-r).
Faisant la somme de ces deux équations , on a
eps. amp. p ■+■ eps. amp. q -4- cps. amp. r — eps. arap.(p -4- q -4- r) = c*[sin. amp. pain. amp. q sin. amp.(p q ) -+- sin. amp. r sin. amp. {p+q) sin. amp. (/»-+- q -+-r)] ;
formule dans laquelle le second membre n'est pas symétrique , bien que le premier le soit ; mais ce second membre le devient, au moyen de la formule générale (f) du § 24 , et l'on a
eps. amp./) -4- eps. amp. q h- eps. amp. r — eps. amp. [p ■+■ q ■+- r) =s [c 5 sin. amp. [p -+- q) sin. amp. (p-4- r) sin. amp. (q ■+■ r)] X [1-4-csin. amp. p sin. amp. çsin. amp. rsin.amp. {p+q -*-r)1 •
§33. On peut développer l'epsilon en fonctions du digarama , au moyen du théorème de Taylor. On aura , en représentant par h l'accroissement de p t
eps. amp. (/>-+- À) = rr U'A U"A* IT'À 3 U«vA4 rjvA5
U -4- -4- -4- -4- -4- -4- elC ,
1 1.2 1.2.3 1.2.3.4 1.2.3.4.K ' série dans laquelle
rfU rfU rf, «HT <t ?
= eps.amp.^, U ==•-, U = ~- . - ,
U"«fLi, Cw = ^.^ L ^^A etc.
Cherchant la valeur de toutes ces fonctions, dans l'hypothèse de f=o, qui donnep = o, on obtiendra le développement deeps. amp. h; ou , en écrivant p au lieu de h dans les deux membres ,
(13). . . eps. amp./>= p — — £ h (c'-4-c 4 )-£— — etc.;
d'où
(14)....ceps.amp.p=cp ~- -4- (c 3 -*-c 5 )^-~ — etc.
= arc(tang. = cp) — 1 r -f- etc.
Quand c=l , la formule ci-dessus sera encore convergente , si y est assez petit ; mais pour cette valeur particulière du module , on a
eps. ? = sin. />==dig. ? = log. tang. (45° -f- £ (§ 19) :
la différence entre cette valeur rigoureuse de esp.?, et celle que donne la formule (14) , servira à faire apprécier jusqu'à quelle limite on peut compter sur une approximation suffisante. § 34. Considérons les trois équations
G( r ) = eps. y h- A dig. f , G (<p) = eps. ^ -4- k dig. f, G (/x) = eps. fit k dig. fit,
daus lesquelles G représente , comme on le voit , une fonction composée d'un epsilon et d'un digamma , et k un coefficient constant : il est visible qu'on aura
G{f) •+• G(|) — G(fit) =c a sin. y sin. f sin. fit ;
de sorte que toutes les conséquences qu'on tirera de l'équation (8) , pour les fonctions epsilon , s'appliqueront généralement aux fonctions G.
Désignons , comme précédemment , par ? a , y 3 , % , etc. , les amplitudes qui donnent dig. = 2 dig. ( ? ) , dig. ( r3 ) = 8 dig. ( f ) , etc. : on aura , en vertu de l'équation (8) ,
2eps.ç>— eps. r \, = c'sin.p sin. ? sin. p., ,
Seps. f — eps.p 3 t=c'sin.y(siu.$>sin.f\, -+- sin. y, sin. y 3 ) ,
4eps . ? — eps . ? 4 = c'sin . f (sin . f sin . -+- sin . ? a sin . p 3 -4- sin .f> 3 sin ,
donc, lu même relation entre p /( et ^, qui donne dig. p„ = «dig. y, donnera n esp. ? — eps. ? ,„ égal à une quantité algébrique.
En général , si m, n, p, etc., sont des nombres entiers, positifs ou négatifs, on peut faire en sorte que le polynôme
m. eps. ? n eps. | -f- p. eps. a -+- etc. ,
soit égal à une quantité algébrique, pourvu qu'il existe entre les angles », ^, w, etc., la relation qui donne
(15). . . . iwdig. y-t-ndig. i-+-jpdig.w + etc. ===0,
relation que nous avons discutée au § 22. En effet, si nous désignons par A, A.', A", etc. , des quantités purement algébriques, nous aurons , d'après ce qu'on vient de voir ,
m eps.f— ep$.f OT =A, n eps.p — eps. ^„=A', p eps.w— eps.«?^=A",etc; d'où
(m eps. © -+- n eps.f p eps.w etc.) — (eps.^ ro -f-eps.^-i-eps.w/, -4- etc.)= A-*-A'-*-A"-4- etc.;
mais , d'après l'équution (8) , le polynôme
eps. tf m -+• eps. $ n -f- eps. u p ■+- etc. ,
sera égal à une quantité algébrique , si
dig. dig dig.w,, -4- etc. = o;
or, cette dernière équation revient à
m dig. j> -4- n dig. </, -*-p dig. a -4- etc. = 0,
qui n'est autre que l'équation (13).
Si Ion fait ? = } dans l'équation (8) , on aura
2 eps. y — ep$./t*= c'sin.'» sin. ^ ,
et la relation algébrique correspondante, sera
COS.'y — SUl. t-A (ju) = CO$./Z,
C'est l'équation qui sert à la duplication des arcs d'ellipse , ou à leur bisection. On en tire, pour la duplication (§20),
2sir —
in . & cos
sin. i u=— 7-t— ; — , Ung.i^ = A( f }tang.- f ;
1 — c sm.'y
et pour la bisection ,
Vl-cos.^ : — .
§ 85. Lorsque les amplitudes ^ et ^ correspondent à des digamma complémentaires , on a
dig.^ = D, = -, eps. ft — E,
et l'équation (8) devient
(16) eps.p -t- eps. <p — E = c' sin. ^ sin. f ,
tandis que les équations algébriques correspondantes, sont (§ 19)
6tang. ^tang. £=l ,
cos. y bsin.v . . b
sin.* ==-—--, cos.^ = — — -, == — '
Si, d'après ces dernières relations , on détermine sur l'ellipse (fîg. 8) , les arcs BM=eps.^, DN = eps.^ , on aura , en observant que l'on peut permuter y et } dans l'équation (16), et, par conséquent , dans toutes celles qui en découlent,
(17) . . . eps.y — (E— eps.^) = BM — AN = c , sin. r sin. ^
c' sin. r cos. y c' sin. A cos. <p
L'amplitude se détermine géométriquement avec facilité au moyen du rayon vecteur CF. En effet, d'après le § 16, on a
— b CF =
et comme M'E=sint y, en remplaçant et sin. f par ces valeurs ,
dans l'équation cos. = ^'("y/ 1 , il vient , en observant que CD = 1 ,
CF X Mlî
cos. t =
CD
Une propriété remarquable du point N , déterminé par suite de la construction de l'angle $ , c'est que la différence des arcs BM et AN, est égale à la partie de la tangente OM ou ZN f terminée à la perpendiculaire CO ou CZ abaissée du centre de l'ellipse. Ce théorème , dont ta découverte est due à Fagnani, peut se démontrer de la manière suivante :
On sait , par la géométrie analytique , que si
est l'équation d'une droite MO, la longueur de la perpendiculaire CO , est représentée par
(18) CÔ= 0 .
Kl h- a 2
Si la droite MO est tangente à l'ellipse , elle a pour équation
