I = AH

# et y désignant les coordonnées du point de contact ; d'où il suit que

ou, en mettant pour x et y leurs valeurs sin. ? et h cos. <?,

osin.9 6 * = — -, 0 =

COS. y COS.p

par conséquent

V\+cC M?)

et , en verlu de 1 équation (18),

Mais le triangle rectangle CMP, fournit la relation

ÔT==CP J PM^^-f-y^sin.'y^i'cos.'y; et comme

MÔ' = CM' — CCT ,

on a

MO = sin.> ■+■ o 5 cos. a s =1 — c'cos. *«

A' — A Vcos.'\ — ©* c 4 sin.* ? cos. 2 ?

d'où x

— — c* sin. © cos.', MO = j-

Le point N étant situe par rapport à l'angle ^ , comme le point M par rapport à si Ton change <? en ^ dans la formule précédente , on changera MO en NZ ; ce qui donnera

c' sin. ipcos. $

valeur égale à celle de MO , en vertu de l'équation (17). § 36. Voici une propriété nouvelle des arcs AN et BM : Le rectangle des rayons vecteurs CG et CF, est équivalent à celui des

demi-axes AC et CB.

En effet l'on a

— h — b CF =-—, CG ==— :

faisant le produit et remplaçant a(?)a(-|) par sa valeur b, il vient CFxCG = lX& = ÂCXCÏÏ-

On peut remarquer aussi que CF = CO, en verlu de l'équation (19): on trouverait pareillement queCG = CZ.

En remplaçant AN par sa valeur AB — BN ; on a simultanément

BM -4- BN = AB -+- MO , CF X CG = ÂC X CB :

il résulte de ces deux équations, que le théorème de Fagnani peut s'énoncer de la manière suivante : si les arcs d'ellipse BM et BN, sont tels que le rectangle des rayons vecteurs correspondants CF et CG, équivaut à celui des demi-axes, les deux arcs valent en somme le quart de V ellipse, plus la ligne MO.

Lorsque ^ et ^ sont égaux à un même angle d, dans l'équation (16), les deux poiuts M et N coïncident en K. Alors on a

tang.'O = \ . sin.'fl = — l — , cos.'O = — — ;

ce qui donne

BK — AK=1 — h :

donc la différence des arcs BK, AK, est égale à la différence des demiaxes CA et CB. En même temps , si Ton remplace AK par E— BK dans l'équation précédente , il vient

BK = *E -+- 1(1— b), AK = £E — 4(1 — A):

il y a donc au point K, une sorte de bisection du quart; d'ellipse.

Nous démontrerons au § 60 , la relation entre les quatre fonctions D(o), D(c) , E(o), E(c) , exprimée par la formule suivante