CHAPITRE V

Propriétés générales des kappa de même module et de même amplitude.

§ 87. Lorsque dans la formule

A B sin. a y df

nsm. ? A

la constante n, qui porte le nom de paramètre, n'est pas égale à zéro, nous avons trouve (§ 8) , en opérant la division du numérateur par le dénominateur,

H— - r~ An ~ B f d Y

nj a n J (l -+-nsin.\) a '

ce qui a donné lieu à une troisième espèce de transcendantes dont le type est

( 1 nsin. 3 ? ) A

Nous avons nommé cette fonction, le kappa de ? , et représenté parK , ou K (n, c) , l'intégrale définie

1 •+- nsin.'y a

On pourrait croire que le cas où n est imaginaire , diffère essentiellement du cas où h est réel , et qu'il constitue une quatrième espèce de fonctions elliptiques; mais, par des réductions et des transformations que nous exposerons ci-après f on verra que cette qua-

trièuie espèce est inutile à considérer , et qu'on peut ainsi restreindre la troisième espèce aux seuls cas où n est réel.

Provisoirement, nous partagerons en quatre classes, les kappa à paramètre réel. La première se composera de ceux dont le paramètre est positif, et , par conséquent, de la forme

n = cot.'O.

La seconde contiendra ceux dont le paramètre est négatif, compris entre — c' et — 1 , et , par conséquent, de la forme

n = — 1 fc 3 sin.'ô.

La troisième renfermera ceux dont le paramètre est négatif, compris entre zéro et — c% et, par conséquent , de la forme

n = — c 1 sin. J 0.

La quatrième contiendra ceux dont le paramètre est négatif, compris entre — 1 et — », et , par conséquent , de la forme

sin.'d

Les deux fonctions kap. (— c% c, - T ), kap. (— 1 , c, r ) , sont exclues de ces quatre classes. En effet , nous verrons au § 43, que ces fonctions se réduisent à des transcendantes d'un ordre inférieur aux kappa.

§ 38. Faisons voir maintenant, que les deux premières classes peuvent se fondre en une. Soit , à cet effet ,

sin. f cos. ' r

et k un coefficient indéterminé : on aura , par la differentiation ,

dp I — 2sin. 5 ? c'sin. 4 ? d ?