kp 1 = 1 -4-(A— c 1 ) sin.> — Asin. 4 P * T

Si l'on fait ensuite

I -4- (k — c'Jsin.'y — k sin. 4 , = (1 -»-» sin. '\ ) (l -4- m sin. ? p) ,

il en résultera

k = — mti , (1 -+-n) ( 1 -4- w») = b' , et 1 équation différentielle prendra la forme

dp d r I 1 -4-n l 1 -f-w 1

\ » l-+-»sin.*^ m 1+msin. 3 ? mn j

d'où l'on tire, en intégrant ,

(|). .... LlH kap.(«, c, ? ) i^-l rt -kap.(m,c, ? ) n în

— c* , 1 / V — mn sin. r cos. - f \ = diff . v h arc tang. = ï \ •

Par cette formule , les deux kappa peuvent être réduits l'un à l'autre , pourvu qu'entre les paramètres » et m , on ait la relation

Cette relation est telle, que si l'on fait » = cot.*0, on aura

m = — 1 -t-o'sin.'ô;

par où l'on voit, que le» deux première» classe» de kappa, n'en font à proprement parler qu'une seule, puisque la réduction d'une fonction à l'autre, peut se faire immédiatement au moyen de la formule

/x , \ o'sin.'Ocos.'O, > (a) . . . kap.(cot.'0,c, v ) = -^-^ — kap.(-l+& a sin.'0,c, î ')

c'sin.'O

sin.Ocos.0 r sin.^cos.u a(o, on

qui est ce que devient l'équation (1), quand on y remplace m et », par leurs valeurs — 1-4- o'siu.'d et cot.'ô.

§ 89. Les deux dernières élusses de kappa peuvent aussi se fondre en une. Pour le démontrer, soit

et * une constante indéterminée : on trouve par la différentialion

dp d ? 1 — c'sin. 4 ?

l-+-«p a A ' (1— c a sin. 3 ?) cos. 3 ? -f- asin. 4 ?

Supposons que le dénominateur A a cos. 3 ? -+-a sin. 4 ?, soit égal au produit des deux facteurs

(1 -+-»sin. a y) 1 1 -+-~ sin. a ? j :

la valeur de a devra être

et alors , l'équation différentielle se décomposant ainsi

l+^ a a ^-4-sin. a y C , / '

l ^ sin. «

son intégrale sera

(6) . . . . kap. (n, c, y) -4- kap. , c, ?j

1 / |/«tang. ?

= dig. y h — — arc I tang. = —

Va \ A

Si l'on fait n = — c a sin.'ô , ou n = — jj^> l'équation (2) devient

a = ( 1-C sin. a 0) ( 1 - J) = A a (ô) cot.'O , et la formule (fc) se change en

(c). . . kap.(—c'sin.^c, ? )H-kap.^ g -J-^, c, f J

1 f |/— 1a(ô) cot.Otang.» I =dig.?-H — ^ arc tang. = ^— n •

En représentant par m la fonction qui contient des imaginaires , nous lui donnerons une forme réelle au moyen de la relation connue

\ 1 -4- V — 1 tang. x)

et nous obtiendrons

(3) . . . u-¥*±he. l*(f™s-°+*m°s-?\.

v ' 2i(«) u \i(i.)taDg.e — i(e) tang. f )

Cette expression donnera un résultat réel, aussi longtemps que a( ? ) tang.O surpassera a(o) tang.',*; c'est-à-dire, depuis 7=0, jusqu'à y =ô, le logarithme qu elle contient devenant nul à la première limite et infini à la seconde. Mais lorsque a(?) tang.0 sera moindre que A(e)tang. elle prendra une forme imaginaire, et pour la rectifier, conformément à la remarque du § 10, nous devrons changer le signe du dénominateur. Elle servira, alors, depuis f =0 jusqu'à f=y: à cette dernière limite, elle s'évanouira, et la formule (c) donnera, entre les fonctions complètes, la relation

(4) . . . K( — c'ain.'O.cJ-f-K ^ — ^7— - , c j = D;

d'où l'on voit que les logarithmes ont entièrement disparu.

§ 40. Remarquons que si l'on fait « = cot. a 0, oun= — 1 -4- o'sin.'fl, dans l'équation (2), a prend une valeur positive, et la formule (b) contient un arc de cercle. Au contraire , si l'on fait n = — c 1 sin. fl 0, ou » = 7^4^, «devient négatif, et la formule (b) contient un logarithme. C'est pourquoi, nous appellerons kappa circulaires, ceux qui ont pour type du paramètre n=cot.* 0 ou w= — 1 -+- 6' sin 1 0 ; et kappa logarithmiques, ceux qui ont pour type du paramètre n= — c'sin. 0 , ou n= Un examen plus approfondi des fonctions de troisième espèce , nous fera connaître que ces deux classes de kappa sont essentiellement irréductibles entre elles.

Il résulte des formules (a) et (c) , que le paramètre de tous les kappa circulaires peut être ramené au type — 1 -+- b^ sin.' A , que nous considérerons comme normal ; et celui des kappa logarithmi-

ques, au type » = — c 1 sin.* A. Nous appellerons kappa circulaires normaux, ceux du premier type , et kappa logarithmiques normaux, ceux du second.

Pour abréger la notation , nous conviendrons de designer par kac.(A,c, f), le kappa circulaire normal , dont A est l'angle du paramètre; et par kal.(A,c, ? ) , le kappa logarithmique normal correspondant au même angle A ; ce qui s'exprimera par les équations

kac. (A, c, ©) = kap. (— J-f-o'sin.'A, c, y) , kal. (A, c, ? ) = kap. (— c'sin.'A, c, - r ).

Il est inutile d'étendre cette notation aux kappa complets, car nous démontrerons plus tard (chap. VI), que ceux-ci se réduisent toujours à des fonctions de la première et de la seconde espèce. § 41. Si dans l'équation de condition du § 38

on fait »i = — c'sin.'O, il viendra

n (cos.'fl-t-o 2 sin.'fc) = — c 3 cos. } 0 ;

d'où il suitque n sera de la forme n = — c' J sin. 3 A, et que l'on aura, entre 0 et A , les relations réciproques

cos. Q . cos. A

sin. A = — -— , sin. 0 sss — — ?

d'où résulte

1 =o tang. 0 tang. A.

C'est la même relation qui donne

dig.O -f- dig. A = I).

En substituant , au lieu de m et de n , les valeurs précédentes dans l'équation (1), on voit que l'expression

1 ( V — mn sin. y cos. o \ r tang. = — — i !

K — wm

garde sa forme imaginaire, puisque w» = c 4 sin,' dsin.' A. C'est un

résultat qu'il était aisé de prévoir , puisque les deux kappa sont logarithmiques. Si l'on réduit cette expression à une forme réelle, l'équation (1) devient

(5) cos.'d kal. (0, c. <f) -f- cos.'A kal.(A, c, ? )

/ A •+- c'sin. 6 sin. Asin. ^cos. ^\

= dig. «- — i sin. 0 sin. Alog. ± — — -—. — — ;

u T u \ a — c sm. ôsin. A sin. ^cos.?/

formule au moyen de laquelle on pourra exprimer l'un par l'autre , les deux kappa logarithmiques

kal.(0,c, ? ), kal. (A, c,

pourvu qu'entre les angles des paramètres, on ait la relation

l=o tang. 0 tang. A.

Cette même relation entre les angles des paramètres des deux fonctions

kap -(^' c '4 kap -( s iSi ,c ' »)•

donne la formule

cos.'okap. c, f ) + cos.'Akap. ( ^ — 1— , c, f )

c'dig. 9 . . . . / , Asin.0sin.A- sin.ç>cos.s\

= : ^ isin.ôsin.Alog. =h — : : : — r - r - \ .

sin.'Osin.'A ° \ a sin.0sin.A+ sin. ^ cos. fj

Si 0=A, d'où

sin.'ô = --Î-7 , dig. 6 = |D, 1 0

la formule (8) donne

ka p.(-l + i, c, f ) -g-d* , - -log. (± (l t>in-tC08 „ f J =

ainsi, dans ce cas, la fonction de troisième espèce se réduit à un digamma , moins un logarithme.

§ 42. Appliquée aux kappa, la transformation imaginaire qui se fait au moyen de l'équation

sin. ?=]/ — 1 tang. } ,

offre cette particularité remarquable , qu'en même temps que le dulese change en sou complément, le kappa proposé de logarithmique devient circulaire , et vice versa : ainsi l'on obtient

(d) . . kal.(A,c, ? )=— — [dig.(ô,^)-c a sin. a Akac.(A,6,ri].

A {C, AJ

C'est à l'aide de cette formule , que nous sommes parvenu à étendre aux kappa circulaires, la propriété démontrée plus~haut, d'après Legendre, pour les kappa logarithmiques. Si l'on change sin. f en V — 1 tang. dans la formule (5) , qui suppose

dig. (c, 6) dig. (c, A) = D(c) ,

^ .1 = 0 tang. 6 tang. A ,

cos. 0 . cos. A

sin. A = —7 , sin. 0 = — ; — -r ,

A(c,fl)' A(c,A)

et si l'on observe que

( A (6, ^) h- c 3 sin. 9 sin. Atang.^|/^ï \ A (o, ^ ) — e sin. 0 sin. A tang. * |/^ï /

/ c a sin.*0sin. A tang. <p\

= Sl /=l arc ^ang — j ,

on trouvera la relation

cos.'fl

A ? (c,fl) cos ."A

[dig. (6, <p) — c a sin.'fl kac. (0 , b, *)] [dig. (6,^) — c'sin/Akac. (A, 6,

(c*sin.0sin. A tang. &\ lalî 8- = ±(b,<p) / '

Écrivant ? au lieu de <f dans les deux membres de cette équation , et y permutant ensuite b et c , ainsi que dans les formules (6), on obtiendra le système de relations suivant

dig. (b, 6) -♦- dig. (b, A) = D(i) , l = c tang. $ tang. A ,

kac. (0,c, y) kac. ( A, c, y) =

.... 1 / ©' sin. 0 sin. A tang. » \

dig. (c, ©) h- 7— : arc tang. = — — •

0 v T/ o'sm.Osin. A \ a(c, ? ) /

§ 48. L'équation (6) offre plusieurs corollaires importants.

1° Elle permet de réduire les kappa circulaires, qui ont pour type du paramètre n = cot.'fl, à d'autres kappa, dont le paramètre , également positif, est exprimé par le type moins général n = c sin. 0. En effet, cette équation faisant dépendre kap. («, c, y) dekap. ( ~, c , f ) , il s'ensuit que , si le paramètre n est plus grand que c , c'est-à-dire de la formée c/% étant une quantité essentiellement positive, le paramètre

sera nécessairement moindre que c, et, par conséquent , de la forme n = c sin. 0.

2° En l'appliquant aux cas de n = c et de n = — c, elle donne kap.(±c,c, f )=*idi S . ? + 2j]^ arc ^tang.= ( 1±c ^ an S- y j .

ainsi , dans ces deux cas , la fonction de troisième espèce se réduit immédiatement à un digamma.

8° En l'appliquant aux cas de n = — c a et de n = — 1 , dans lesquels * s'évanouit et l'intégrale f du § 89 se réduit à p , la formule (6) donne

kap. ( — c',c, f ) kap. (— l,c, f ) = dig. y h- ta " g ' ? :

de plus , le deux kappa s'intègrent séparément par des digamma et

des epsilon. En effet , la formule (6) du § 1-4 donne, pour ces deux cas ,

S*d? 1 c* sin. © cos. « kap.(-c\ C , ? )=y -^-eps.f-p " ,

kap. ( — 1 , c , y ) ==y ^ c ^ , y « dig. y — p eps. ç» h- ^ A tang. f .

§4-4. Passons maintenant aux kappa dont le paramètre est imaginaire. Soit

sin. e cos. «

(l-t-gtin.*,)*'

Ç étant un coefficient constant : on aura , en diflcrentiant et en introduisant un second coefficient constant k, l'équation générale

dp 1 — (2 -f- K) sin.'y ( 1 -f- 2Qc' sin.* y — fr 3 sin. 6 y

1 ~~ A ' (l H-Çsin.^JMl— c a sin. J f )-t-*sin.>(l— sin.'?) '

que l'on pourra écrire sous la forme

dp d ? ^-(2^+r)sin.>-4-(g-^2r)c 3 sin . \~-rc a 8in. 6 y ( l + ty a ~ a' Ç[(l-t-Ç8in.\) (l-c 3 sin. 3 f )-4-Asiu.^(l-sin. a ? )]*

en multipliant à la fois le numérateur et le dénominateur de la fraction qui compose le second membre, par le coefficient £. Posons

{8) . * ifîu A , l + c y

v/ \-t-kp 1 A\K l + nsiD. a f> l-*-n'sin. 3 ? 1 h- wsiu.^j

M, A, B, C, n, n' et m étant des coefficients indéterminés: en identiGant les deux valeurs précédentes de , on trouvera d'a-

bord, par la comparaison des dénominateurs, les trois équations de condition

nn'm — c*'C ,

(c 1 -+- ») (c 1 w') (c'+»i) = — oV£ ,

qui détermineront le paramètre »» et les deux coefficients Çel k, lors-

que les paramètres n et »' seront connus. On en tirera , pour valeur deÇ,

» w' ensuite on aura m et k par les équations

nn

fcV

Quant aux coefficients M, A , B et C , on les déduira de la comparaison des numérateurs, en égalant les coefficients des mêmes puissances de sin. 3 ?. Et d'abord , il est aisé de voir que M = 1 , car si Ton fait sin. ? = eo dans les facteurs qui multiplient-^ dans les équations (7) et (8) , le premier de ces facteurs se réduit à v, et le second à -ç • La valeur M 1 étant substituée dans l'équation (8) , on aura l'identité

f K— (2Ç ■+■ V) sin. a ? -4- (K -4- a?') c a sin.* ? — ÇV sin. 6 ?

1 AÇ -4- BÇ CÇ

(18). ^ + ( n+n ^ m4 .AÇn / -hAÇ«n-BÇn+BÇm-hCÇ»H-CÇn')sin. , ?

(n»' -4- ntn -+- n'm -4- AÇn'w -f- B£nm -4- CÇnn') sin. 4 ? nn'm sin. 6 ?;

d'où l'on conclura

A »* a -4- (2 -4- K) * a -4- ( 1 -4- at) c 3 n-4-fr a n(n— •*»') (n — m)

fU , ) n' 3 -4- (2 -4- 1) n' 3 -4- (1 -4- ag) cV-4-fo a

Si l'on intègre maintenant les deux membres de l'équation (8) , il viendra

/* dp 1 = ^dig.^i-Akap.^c^KBkap.^c^J-t-Ckap.t»!,^?);

formule qui servira à déterminer l'un des trois kappa en fonction des deux autres. Elle contient, comme cas particuliers, la formule (o), en faisant m — — I , »' = ^ ; et la formule (a), en faisant m = o , n = cot.'O, n' = — 1 -4- j&'sin.'G. Mais elle est susceptible d'une infinité d'autres applications, qui peuvent répandre un nouveau jour sur la théorie des fonctions elliptiques de la troisième espèce. Si l'on prend les paramètres n et n', tous deux de la forme — 1 -4- b* s'm.' ft, , le troisième m sera de la môme forme; si on les prend tous deux de la forme — c a sin. a A, le troisième m sera également de cette forme; mais si l'on supposait n et n', l'un de la forme — 1 -»- o' sin.'jtc, l'autre de la forme — c^sin.'A, on trouverait pour le troisième m, une quantité imaginaire. En effet, si dans l'expression deÇ, on écrit au lieu de n et den' les valeurs — 1 sin.'jcc, — c 1 sin.'A, il vient

V~\ A (b , ft) sin.'A \\/~\ a(o, fi) ± sin ./UCOS.yUCOt.AûfCjA)] ~~ A' (6, fx) sin. 7 A-*- A a (c, A) sin.V '

quantité dont le carré est essentiellement imaginaire ; d'où il suit que w = — est également imaginaire. Ce résultat était facile à prévoir : car si l'expression de m se rapportait à la forme — 1 +6'sin. 2 «, il s'ensuivrait que le kappa, dont le paramètre est — C" sin.'A, pourrait s'exprimer par les deux kappa dont les paramètres sont — 1 -t-ZTsin.'/tc et — 1-4- i'sin'.a; ce qui est contraire à la nature de ces fonctions. De même, si m se rapportait à la forme — c^sin.'a, alors le kappa dont le paramètre est — 1 ■+- o 1 sin.'/u, pourrait s'exprimer par les deux kappa dont les paramètres sont — c 2 sin.'A et — c' sin.' d\ ce qui est également impossible.

Puisque , dans l'hypothèse précédente , la valeur de m doit toujours être imaginaire , il parait s'ensuivre que tout kappa dont le paramètre est imaginaire , peut s'exprimer par deux autres kappa dont les paramètres sont réels, l'un étant de la forme — 1 -4-fc' sin.> ; Vau-

tredela forme — c*sin. a A. C'est ce que nous allons démontrer, d'après Legendre , avec tous les développements qu'exige cette proposition , l'une des plus importantes de la théorie des fonctions elliptiques. § 45. Soit le paramètre donné

n = y(cos. 0 -+- \/ — 1. sin. d) ,

y étant positif et cos. 0 pouvant être positif ou négatif à volonté : ce paramètre sera toujours accompagné , dans l'intégrale réelle dont on cherche l'expression , d'un autre paramètre (§12)

n' s= y (cos. 0 — ]/ '— 1 sin. ô).

D'après ces deux données , il faut trouver la valeur de chacune des fonctions kap. (n, c, ^), kap. (n' c, ?), exprimée par deux autres kappa dont les paramètres sont réels.

Pour cela, il ne s'agit que de substituer les valeurs de n et n' dans les formules (10), (11) et (12). Soit, pour abréger,

v a •+- 2c a v cos. 0 -4- c a ' on trouvera

Ç = — yA=hyKl-*-2AcOS.Ô-|-A 3 ,

m = — — — ^- = — c 2 [2A a h- 2 A cos.O -4- 1 =p 2A V 1 -4- 2 A cos. 0-*- A' 1 ] ,

A =— (c 4 -t-2c a ycos.0-4- y a ) ;

par où l'on voit que les trois quantités Ç, m, k sont toujours réelles. Il en est de même du coefficient C , dont la valeur donnée par la troisième des équations (14), est

,n 3 + (2H-g ) m*-*-{ l 2 Ç) c'm -4- Çc a

m (m 3 — 2»ty cos . ô y 2 )

mais les coefficients A et B contiennent chacun une partie imaginaire.

§ 46. Il y a deux valeurs de Ç, et, par conséquent, deux de m, et deux des autres coefficients. Les valeurs de m méritent une attention particulière , parce qu'elles sont les paramètres réels des kappa par lesquels nous voulons exprimer les fonctions kap. (n, c, 7), kap. (n'e, 7), dont les paramètres sont imaginaires.

Soient m' et m" les deux valeurs de m : on aura

m' h-c'= — 2Ac' [A -+- cos. 9 — \S\ + ïh cos.O-f-A 1 ] , *»" h- c' = — 2Ac" [A h- cos. e -f- |/l -4- cos. 6-*- A'] ; de là résulte

(m* + c') (m" -4- c 3 )— — 4c 4 A a sin.'O :

il faut donc que des deux facteurs m' -+- c* , w" -4- c% l'un soit positif et l'autre négatif. Remarquons maintenant que m' et m" sont tous deux négatifs , et que si l'on remplace n et n' par leurs valeurs, dans la seconde des équations (9), celle-ci devient

(1 -t- 2 v cos. ô -*-*') (l-4-wi)=Z> a (l

expression dont la réalité exige que 1 -f* m' soit toujours positif, ainsi que 1 -t-m"; mais pour satisfaire à toutes ces conditions, il suffira de prendre

m' = — c'sin.'A, m" = — 1 -h 6*sin.>.

Cela posé, en partant de la valeur m' = — c'sin.% et en désignant par un accent placé au bas de la lettre, les valeurs correspondantes ôcpj Ç, A, C, A et B, on déduira de l'équation (15),

g /7 A, ^ B, Vj, ,/ xl + nsm.*? l-t-n'sin.\/ A

^À,-f-B,H-(A,n'-»-B,n)sin.\ ^ ,/ (l-4-»sin. J ' r ) (I H-n'sin.V) A

Ecrivant au lieu de n et de n' leurs valeurs

n=v(cos.Ô + l/^lsin.0), n'=y(cos. 0 — l/^ïsin. et faisant, pour abréger,

le second membre de Péquation précédente deviendra

f -+- sin. 3 ? tf?

H-2vcos.0sin. a ç>-*-v a sin. 4 ? a

Soit aussi

c* •+■ 2c a j> cos. 0-4- * a = r a ,

les équations

*, = — (c* -t- Sc'vcos. 0 -f- vA ——— , m' = — c a sin. a À ,

donnent

r a cos. J A

par conséquent

,/ l4-*,p, a 2rcos.A ° \ p,TCOS.\ — b} et l'équation (16) devient

, 17 x f' + g'smS 9 dy

' J 1 -f-2ycos.ûsin. a ? -t-^sin. 4 ? ' A

0 / p.T COS. A -f- £>\

= lofj. zk 1

27 COS. A \ p.TCOS.A— 6/

Si l'on part maintenant delà valeurw" = — 1 o a sin. a /tc, et que l'on désigne par deux accents placés au bas de la lettre , les quantités correspondantes, on aura

/ A„ -4- B„ ( A,,*' -h B„n) sin.'y d?

(l + «sin.\) (ln-n' sin. a ? ) a

Soit toujours

c 4 -+- 2c a v cos. 0 -t- v a = r a ,

les équations

*„ — — (c 4 -t- 2cV cos. 0 + ) ,

m" = - 1 -t-o'sin.>,

donnent

t" cos.'/*

et conséquemraent

- — : ; = arc tang. = - :

l +K,P„ T COS. fi \ Ç J

faisant de plus, par analogie,

l'équation (1 8) devient

( i9) /: r dj

J l-Hâycos.Osin.^H-y'sin. 4 ^ à

arc

t cos. fi

y- dig. « — C„ kap. (»*",c, f ).

§ 47. n faut remarquer que toutes les quantités qui entrent dans les formules (17) et (19) sont réelles de leur nature, à l'exception des quatre coefficients /*',</', g" , dans l'expression desquels entrent les paramètres imaginaires n et n', et les coefficients A,, B,, A„, B„, également imaginaires. Mais cette exception n'est qu'apparente, et l'on peut même calculer les quatre coefficients dont il s'agit, sans connaître les valeurs de A,, B,, A„, B„.

Soient , à cet effet ,

A = A +B, ( j = An' -+- Bn,

f \g\f" } g" seront alors ce que deviennent f et g quand on remplace successivement m par ses deux valeurs m' et m", dans les coefficients A et B. Lorsqu'on égale les coefficients des mêmes puissances de sin.'y dans l'identité (13), ou obtient les deux équations de condition

1 + ?(A + B + C)=Ç, —(2Ç+Ç 1 ) = n -t- n'+ m -f- AÇ»'-*- AÇm -4- BÇn -t-B£w CÇn CÇn',

dont la combinaison donne

? = An'+Bn=tn(C — 1) — (ft + n') ^C-f- — 2 — Ç;

valeurs essentiellement réelles, puisque

n ■+- n' = 2v cos. 6.

§48. Au moyen des deux formules (17) et (19), toute intégrale proposée

/■* a-*-£sin.*p

I 2vcos. Q sin.'y -f- v'sin.^ A

dans laquelle le dénominateur 1 -4- 2v cos. 0 sin. a ? -t- sin. 4 y est le produit des deux facteurs imaginaires

1 j>sin.\(cos.0 -i- V — lsin.ô) , 1+ vsin.\(cos.O— V— 1 sin. fl) ,

pourra toujours s'exprimer par les deux fonctions kap.(m',c, kap. [m" , c, f) , dont les paramètres sont réels , l'un étant de la forme — e° sin'A , l'autre de la forme — 1 -f- ©' sin. a /*. En effet, connaissant les coefficients f g' , f" , g", a. , 3, il sera aise de satisfaire à l'identité

a -t- 0 sin. a f = M' (/' -t- g' sin.» -t- M" (/"' + ?" sin. a y ) ,

où M' et M" sont des coefficients constants , par lesquels on multipliera les équations (17) et (19), afin qu'en ajoutant les produits, le premier membre soit égal à l'intégrale proposée.

§ 49. Il est bon de prévenir une difficulté que pourrait offrir l'équation (17), relativement au terme

/L*l., J log . U .

J l+k,p, 2 Srcos.A u \ p,T cos. A — b } Puisqu'on a

sin.y cos. o

( l X, sin.'^a '

on voit que p, est nul lorsqu'on a ? = o ou f = 90° , et que p, est infini lorsque sin. ? = ; valeur qui suppose Ç, négatif. Or, cette hypothèse ne peut jamais avoir lieu, car nous avons établi ci-dessus les équations (9) , en supposant identique l'équation

(20) .... (lH-Ç,sin. a ?) a (l — c a sin. a ï) *, sin. a ? cos. a P = (1 -4-nsin.\) (1-+- n'sin. 9 ?) (1-+- m' sin. a ^ ) = (l-*-2vcos.0sin.\-i- y a sin. 4 ^) ( 1 — c a sin.'Asin.^) ,

dont le second membre est toujours positif, quelque valeur que l'on donne à sin. y , depuis 7 = 0 jusqu'à ^ = 90° : donc le premier membre est également positif. Mais l'hypothèse de 1 -+- Ç, sin a p=^=o, réduit l'équation précédente à

k, sin. a ? cos. a ? = (1 -f- 2vcos. 0 sin. a y -+- v a sin. 4 r ) (1 — c a sin. a Asin. a ?) ,

et si l'on met au lieu de h f sa valeur — r c ° s ' , on voit que le premier membre devient négatif j ce qui prouve l'inadmissibilité de l'hypothèse.

Non -seulement p, n'est jamais infini, mais on ne saurait avoir P, = rcoi ; ce qui rendrait infini le logarithme qui entre dans l'cquation (17). En effet, si l'on divise tous les ternies de l'équation (20), par ( 1 -t- Ç, sin. 9 ?)' A', on obtient

k, sin.'ycos.'y (l-t-2ycos.0sin. a ?+y'sin. 4 ^)(I— c'sin.'Asin.'f)

et comme

Mn.yo8. a ?

(l+^sin.'^A* /F/ '

il s'ensuit que 1 est toujours positif. Mettant au lieu de k, sa

valeur rapportée ci-dessus, on en conclura que If— /j/V'cos.'A est positif, et, par conséquent, aussi o — |>,tcos. A : donc, on a toujours p f < ^ ; ce qu'il fallait prouver.

Si nous passons à l'examen de la formule (19), nous verrons que la quantité

sin. f cos. y P//== (l+?„sin." v )A '

qui est nulle lorsque ç> = o et lorsque 7 = 90°, devient infinie entre ces deux limites, si le coefficient Ç„ est plus grand que l'unité. En effet, ce coefficient ayant pour valeur

— vh —v 2àcos. 0 A%

est essentiellement négatif, et s'il est plus grand que l'unité , son produit par siu.'f pourra annuler le dénominateur de p„. Lorsqu'on aura donc

1 H- Ç„ sin.'f = o y ou sin. ,

l'arc dont la tangente est *'"' qui entre dans la formule (19), sera £t, et l'amplitude f continuant à croître depuis

= arc ^ sin. = y/—!^ ,

jusqu'à f = \x , cet arc croîtra depuis \x jusqu'à

arc

/ t cos. fi, sin. \ x% cos. \x\

l tang ô (TCT~) '

qu'il faudra prendre égal à r, poursuivre la loi de continuité.

§ 50. Si l'on regarde la fonction kap.(n, c, y), comme le secteur raixtiligne , compris entre l'arc d'une certaine courbe (que nous nommerons, pour ce motif , courbe des kappa) et les deux rayons vecteurs qui le terminent, nous aurons, en suivant la notation employée au§ 16,

9 ~ (l + nsin.'^A'

pour équation polaire de la courbe. Lorsque les kappa que Ton considère appartiennent à des types normaux , cette courbe se construit avec assez d'élégance , au moyen de deux ellipses.

Soient E, E', E" trois ellipses , dont les carrés des demi-axes et des excentricités ont pour valeurs respectives

b* = o a , b' 2 = fc a sin. a A , b" 2 = l — c a sin. a A ,

c a = c\ c' a = 1 — o a sin.'A. c" a = c a sin.'A.

L'angle ç> et les rayons vecteurs r,r',r", étant pris comme au jj 10, nous aurons

de manière qu'il viendra , pour la courbe des kappa circulaires normaux,

P (l— c' a sin. a ? )A(c, f ) "~~ A a (c', f ).A(c,y) "" 2 F a * b 5

et pour celle des kappa logarithmiques normaux N

' (l-c # "8in.» ? ) 4 i(c, f ) A a (c''> fc" a * 6 :

ainsi la courbe de tout kappa normal, pourra se construire au moyen des rayons recteurs de deux ellipses ayant même grand axe.

En rapprochant la valeur de p , île celle du rayon vecteur R de la fausse ellipse (§ 16), il est aisé de voir que Ton a respectivement, suivant que le kappa est circulaire ou logarithmique,

Rr' Rr"

relation remarquable par sa simplicité.

§ 51. Pour trouver la valeur du grand et du petit axe (2Aet2B) de la courbe des kappa normaux , il faut faire successivement

? = ^ » et ? — 0 >

dans son équation. On trouve de cette manière : Pour les kappa circulaires normaux ,

V b l sin. a A

et pour les kappa logarithmiques normaux ,

V iA'(c,A)

En appliquant à ces fonctions la remarque du § 19, relative aux secteurs de la fausse ellipse, on trouvera de la môme manière : Pour les kappa circulaires normaux

et pour les kappa logarithmiques normaux ,

kal. (A, c, ?) < r ».:,/, la : n , W ' el > ?•

— c sin. a sin. y) à