CHAPITRE VI

Propriétés générales des kappa de même paramètre et de même module, — Théorème sur les kappa complets. — Relations entre l'amplitude et l'angle du paramètre. — Propriété des fonctions complètes des deux prefnières espèces.

§ 52. Considérons les deux fonctions semblables

(iH-wsin.^)A(d) '

et supposons , comme nous l'avons fait pour les epsilon , qu'on ait l'équation

di{> ? +- dijj. ? — di(j. fi =o, fi étant une amplitude constante. Si l'on fait

kap. <f kap. f — kap. ^ = Q ,

on aura

y \(l-*-nsin.'y) a ( y ) (lH-»sin. a ^)A(^/ '

mais puisque

il vient

Q = /I^L . n(s\\\.\ — sin.\)

J w (sin.-</*-h sin. n a sin.>sii

t^sin.^ f

et comme on a en posant

sin. a ^ sin. a ? = />, sin. f sin. y = £,

on obtient

c*J l + np + n'q

Remarquons que

[i'(?)-^W]=^îMr)- = *, 4 ( r ) + * *(*) ;

et comme on a trouvé au § SO ,

rfy a(^) -t- <fy A (^) = c'rf (sin. fi sin. y sin. = c 1 sin.^ cty,

Fintégrale précédente se réduit à

/* nsin. ,acfy

,/ 1 np n a g*

La relation dig. y -+-dig. ^— dig. ft=o, suppose la suivante

cos. y cos. ^ = cos. fi -f- sin. y sin. ^ A (^) ;

d'où

cos. a ? cos. a <J- = cos.'ytc 2 cos. p. sin. 3» sin. ^A

-t- sin.^sin. 3 ^ — c a sin. a ? sin. a </> sin.>.

Mais

Mais cos

•>. a y cos. a ^ = (1 — sin. a y) (l — sin. a ^)

= 1 — (sin. a yH- sin.»-+- sin. a ? sin. a |=l — p -t- q* : par conséquent

1 — = cos. 3 /* -f- 2g cos. jtc a (/te) — c a <j a sin. a /< ,

p=. sin. a /tc — 2g cos. fi A(yce) c a g 7 sin. 3 ^ ;

mettant cette valeur de p dans l'intégrale précédente, il vient

p n sin. /xdq

x ~ J 1 -»-nsin.>— 2»g cos. /ka(^) -t-o^» 2 + nc a sin.»

Pour trouver cette dernière intégrale , nous remarquerons que , si l'on diffcrentie la fonction générale

= tang.w,

k + lq on obtient

— hhd ^

k* +Ulq + (h> + l*)q*

La différentielle du renfermant, dans son expression, trois constantes indéterminées h , h , / , on pourra disposer de celles-ci de manière à rendre identiques les dénominateurs des fractions qui représentent les valeurs de dQ et de du. C'est à quoi l'on parviendra , en posant

*'=l-»-nsin. 9 /<, */= — ncos.^A^) , A* -*-/' = n a ne* sin. > ; d'où l'on tire

-+-71 Slll. yU

A sin. ^ |/n(c a -t-n a -t-nc a H-fi)

Kl H- « sin. > et si l'on fait, pour abréger (§89),

«sin.V

„ /t . * /, c '\ . Kawsin./t

a = (l4-n) I 1+ - I , on a A = - -

\ n ' Ki-4-»sin.\«

Il suit de là que

hhdq

= arc [ tang.= * ] const.

1 / n l/ô"sin./usin.»sin.^ \

= arc (tanij. =- : 1 1 J+const •

|/~ \ l+«sin.>- «cos.^^siu.^in.^/ '*

et, à cause de la relation

^(/u) sin. y sin. = cos. ^ cos. ^ — cos./u ,

qui simplifie l'expression de Q, il vient

/ kap. f -t- kap.f — kap. / u=

(1) 1 L- , nV^sin.^sin.y sin.J/ \

I ■ y- ardtang. = •

\Vct v ° 1+n— ncos.^cos. r cos.^/

Nous avons supprimé la constante arbitraire, parce que les six fonctions kap. y, kap.</>, kap.p, sin.p, sin.^, sin.^, s évanouissent avec leur amplitude.

jj 53. La formule générale (1) correspond, pour les fonctions de troisième espèce , à la formule

dig. ? h- dig.^ — dig.^ = o,

pour les digamma , et à la formule

eps.y -t-eps. ^ — eps./t£ = c a sin./usin.y sin.f ,

pour les epsilon. Ainsi, la différence qui est nulle pour les digamma, et algébrique pour les epsilon t est exprimée par un arc de cercle ou par un logarithme , pour les kappa. Je dis arc de cercle ou logarithme, car on voit que la valeur de Q représentera la première ou la seconde de ces fonctions , selon que a sera positif ou négatif.

De l'équation (1) , et de toutes celles qu'on peut former semblablement entre trois kappa, nous conclurons, comme nous l'avons fait au § 34 pour les epsilon , que si t, k, /, etc. , sont des nombres entiers positifs , on pourra toujours faire en sorte que l'on ait

t kap. f -h k kap. ^ -t- / kap. a n- etc. = W,

W étant une quantité détcrminable par arcs de cercle ou par logarithmes, pourvu qu'on ait entre les amplitudes y , ^ , «, etc., la relation qui donne

t dig. y k dig. $ -\- l dig. u •+■ etc. = 0,

relation qui peut toujours être remplacée par une équation algébrique entre les sinus des amplitudes (§ 22).

Lorsque y et ^ sont les amplitudes de digamma complémentaires ,

jr COS. y

on a m= ~, et sin. p — — la formule (1 ) devient alors

kap. kap. 4.— K =

-L, m / f<1B „ n]/a sin.f cos.eA ,-arc tang. = 1 1 ,

et, sous cette forme, elle peut servir à déterminer kap. ? , au moyen de la fonction complète K, et d'un autre kappa d'autant plus petit que kap.? sera plus grand.

Si l'on a f =^ , ce qui donne (§ 19)

il vient

■ 1 / nV(t 1 \ kap. ? = iK -—arc f tang. = - — - ;

d'où l'on conclura , en vertu d'un théorème dont il sera question au j^85, que tout kappa dont l'amplitude a pour tangente trigonométrique pr= , peut s'exprimer par des fonctions d'une espèce inférieure,

§ 5-4. En appliquant aux kappa , la remarque que nous avons faite au jj 32 pour les epsilon, il est évident que la formule (1) pourra s'écrire sous la forme

kap. amp. p -+- kap. amp. q — kap. amp.(p q) =

1 ^ [tanT *V^*.Mn.amp.j&.sin.amp.g.sin.amp.(p+g) n |/â L' 1+n—n cos.amp./>. cos.amp.o>cos.amp.(p-*-g)J ,

par où l'on voit sur-le-champ que si Harap.p, Hamp.j, représentent des fonctions de la forme

kap.amp.p-*-*p, kap. amp. q h- fy,

A désignant une quantité quelconque , la différence

Hamp.p -f- H amp.q — Hamp. (p + q)

sera encore égale au second membre de l'équation précédente. '

§ 85. Il existe entre l'amplitude et l'angle du paramètre de la fonction kappa, des relations importantes, que nous allons faire connaître , et qui serviront à démontrer le théorème suivant :

Théorème. Tout kappa complet peut s'exprimer par des digamma et des epsilon,

Démonstratio*. Si l'on différence, par rapport à n (voyez la note III) , chaque membre de l'équation

on aura

d.kap.y p sin. a ?</ ?

dn ~~J (l-t-nsin. J y) a A '

et si l'on fait , pour un instant , 1 nsin.' ? = u , le second membre de cette équation deviendra égal à \f d'où l'on tire, en re-

mettant au lieu de w sa valeur,

. rf.kap.o = kap.p -+- n

(I nsin.'y) a A dn

Remplaçant l'intégrale par sa valeur trouvée au§ U, il vient, après réduction ,

dn |l— — -jkap.y-f- 2a. cf. kap.?c=

dn dn dn

4 Sin,? C0S>f • l^«sin.' y ~ C ' 1T> ^ - "iT (diC,? Cp8 - f);

et si l'on remarque que da=dn |l -j , on aura

— da. kap.?-t~a.</. kap.y

1 dn l dn Idn

= - Asin.ecos.? : — ~ c — - dig.» — - — (dig.y — eps.*);

2 r Y l-4-nsin. a f 2 n a & T 2 n v u r r rn

équation dans laquelle il faudra regarder kap.? et a, comme variables principales, et n comme variable indépendante. Multipliant, de part et d'autre, par et intégrant, il viendra

2 J (l+nsin.'yjV*

( ioi )

La généralité de cette formule , permet de l'appliquer à toutes les fonctions de troisième espèce, quel que soit le type de leur paramètre; mais , d'après ce qu'on a vu au chapitre précédent sur la réduction des kappa à deux types normaux , il suffira de considérer le cas où la fonction kappa a pour type du paramètre n = — - 1 -+-© a sin. a 6, et celui où elle a pour type du paramètre n= — c' sin.'ô.

I er cas. Kappa circulaires normaux.

On aura , dans ce cas ,

dn ^, fc'sin.Ocos.8

et l'équation générale (2) deviendra

o'sin.Ocos.O ■

l.yCOS.f / -— — — — •

J cos.^H-o'sin.'flsin.'f Or , nous avons (§ 43)

do 1 b* sin.flcos.ô

(1 — b sin. 0) v ' '

de plus, en faisant o'tang.'y =n', il vient