AS1U

p (*0a(M) ê /> ci<?(l— 6'sin.»0)

en comparant cette dernière intégrale à la valeur de H donnée au § 8 , on trouvera que

A sin.eCOS.ï / : rz—. — r-— : —

J cos.'y-i-i'sin.'Osin. 3 ?

- kap.(n', 6, e) — a cot.y dig.(6, 0).

sin.ycos.?

Substituant ces valeurs dans l'équation (3), et remettant 6'tang. 1 ? au lieu de n', on obtient

o'sin.dcos.G

[kac.(fl,c, ? )— dig.(c, ? )] =

-4^-[kap.(o*tong. a ? ,M)-cos.' f dig.(6,6)] sin.ycos.?

dig.(c, ? )dig.(6,6)~ eps.(c, f )dig.(6,fl) — dig.(c, ? ) eps.(6,0).

On n'a point ajouté de constante, parce qu'en faisant ô=o, les deux membres s'évanouissent.

# § 56. Pour ramener au type normal le kappa circulaire du second membre de cette équation , on commencera par le réduire à la forme kap.(cot.*f,0, 6) à l'aide de la formule (6) du § 39. Ensuite , par la formule (a) du § 38, on réduira ce dernier kappa à la forme kap. (—1 -4-c 1 sin. a ?,o,6). On trouvera, de cette manière , la formule générale

/ o'sin.Ocos.6

[kac.(0,c, ? )— dig.(c, ? )]

c'sin.fcos.?

[kac.( ? ,o,fl)-dig.(6,e)]

+ eps. (c, f ) dig.(o, fl) 4- eps. (6, 6)dig. (c, ?)

résulte de la symétrie de cette formule, que l'on peut y permuter l'amplitude et l'angle du paramètre, pourvu qu'on y permute en même temps les modules b et c.

En la combinant avec l'équation (a) du § 88, on en déduit

A(b,9) *(c,o) — — kap.(cot.'0,c, ? )+ kap.(cot.>,o,0)=|T sin.ocos.o sin.' r cos.y

-4-tang.0A(fc,e)dig.(c, ? ) tang.yA(c,f)dig.(o,0)

dig.(c,y)dig.(6,e)— dig.(c, ? )eps.(6,fi) — eps.(c, y )dig.(6,e).

Sil'on a fc=c, c est-à-dire si lemodulec=sin.45°, et que l'angle 6

du paramètre soit en même temps égal à l'amplitude ? , on trouve

— kap.(cot. a f,K $ ,f)=$xH-(2Atang.f-4-dig.y— 2eps.?)dig.y.

sin.^cos.y

Lorsque f>= ^, kac.(0, c, y) devient la fonction complète K ( — 1 h- 6 a sin. a d,c), et l'équation (e) donne, pour la déterminer,

v ' ) j =^ h-D (c) dig.(M) -E(c)dig.(o,9) -D(c)eps.(6,0) ;

par où Ton voit que la fonction complète de troisième espèce dont il s'agit, s'exprime généralement par des digamma et des epsilon.

La fonction non complète kac. (0,c, y) s'exprimera également par des fonctions de la première et de la seconde espèce , si l'amplitude f est telle qu'on ait

k étant un nombre rationnel ; car alors , il résulte du § 53 que

kac.(0,c,?)=AK( — 1 -4- o a sin. a ô,c) ■+- W ,

W étant une quantité déterminante par arcs de cercle. Il en sera de même, si le paramètre n est positif, et, par conséquent, de la forme n=cot. a ô. En combinant l'équation (a) du § 88 avec l'équation (3), on obtient, pour la fonction complète,

(6) . . . . . v 1 . K(cot. 2 d,c)=^ tang.0A(o,0)D(c)

sin.dcos.d " m

-*-D(c)dig.(6,0)— E(c)dig.(o,0)— D(c)eps.(o,0).

jj 57. Supposons que l'angle ô , déterminé par le paramètre n = — l + o'sin.'d, soit tel que, pour le module b, on ait

(7) dig.(M) = *D(&),

k étant rationnel : alors on aura , par les propriétés connues ,

(8) kac. (y,fc,o)=AR(— l-t-c'sin.^ojH-W,

W représentant, comme tout à l'heure, une quantité assignable par arcs de cercle. On aura en même temps (§ 34)

(9) eps.(M)=*E(i)-*-V,

V étant une quantité algébrique. Or, si dans l'équation (8), on substitue à kac. (y , b, 6) sa valeur en kac. (o, c, ? ) tirée de la relation générale (e); que l'on y substitue également à K( — 1 c 9 sin. a ?, b), sa valeur en fonctions d'espèces inférieures , que l'on déduira de l'équation (S), mutatis mutandis; qu'eu fin l'on élimine dig.(o, fl)et eps. (b f fl) au moyen des équations (7) et (9), on obtiendra

% T A (6,0) 1 a(c, ? WZ>,0)

kac. fl,c,fr = 1 7 di 6-( c >fH ,, . ' \ ! — :W;

L o'sin.flcos.O J o'sm.ycos.ysin.ôcos-ô

par où l'on voit que tout kappa circulaire normal peut être réduit à un digamma , si l'équation (7) est satisfaite.

2° CA.8. Kappa logarithmiques normaux.

§ 58. La substitution de la valeur n= — c'sin.'O dans l'équation générale (2) , donne

s>dd

cot.0 A(c,0)kap.(— c a sin. a 0,c,?)=(dig.f— eps.y) /— - — -

r de p c a rfo.sin. a O

16,? ysin. 9 eû(c,0) "*" A8m,?COS, V(l-c a sin. 9 08in.' ? )A(c,e)'

On a de plus, par le § 11,

=dig.(c,ô) — eps.(c,0) — A(c,e)cot.Ô,

sin.'tfA (c,fl) et par la formule (a) du § 8 ,

c'sin.'foto 1

r [kal.( f ,c,e)— dig.(c,ô)]:

(1— c'sin.'ysin.'ôjA^O) sin. 1 ?

donc, la formule générale devient

cot.O.A (c,0) [kal. (0,c, f) — dig.(c,?)] — cot. f .A (c, ? ) [kal. ( ? ,c,0) - dig.(c,e)] -4-dig.(c,0)eps.(c, ? ) — dig.(c, f )eps.(c,o)

Cette équation , provenant d'une intégration dans laquelle ? a été regardé comme constant , devrait avoir pour second membre , une fonction inconnue de y , que nous désignerons par F(<p ). Pour la déterminer , nous remarquerons que si l'on permute d et <p , après avoir remplacé zéro par F(p), le premier membre restera le même au signe près , tandis que le second deviendra F(0) : par conséquent F((p) -i- F(fi)=o. Or , cette condition est impossible à remplir (à cause de l'indépendance des angles Ô et f) si Ton ne suppose , comme nous l'avons fait , F(?)=o.

L'équation précédente, plus simple que celle qui se rapporte aux kappa circulaires , est composée de telle manière , qu'on peut y permuter l'amplitude et l'angle du paramètre sans changer le module. Si l'on y fait f = £ ir , on aura immédiatement

(10). Kl-c'sin.'fl^HDW-f- 1 ^ [D(c)eps.(c,fi)-E(c)dig.(c,e)l;

d'où l'on tirera la même conclusion que pour les kappa circulaires complets.

On démontrerait de la même manière que pour les kappa circulaires , que la fonction non complète kal.( 0, c, f) se réduit à des fonctions d'espèces inférieures , si l'amplitude f est telle qu'on ait dig. f = k D(c), k étant un nombre rationnel.

Nous remarquerons à l'égard des formules (e) et (/), qu'elles peuvent se déduire l'une de l'autre au moyen de la formule (d) du § 42.

§ 89. Supposons maintenant que l'angle 9 du paramètre soit tel qu'on ait

dig.O = *D (c) :

on aura

eps.0 = *E(c)-+- V

et

kal.(?,c,0) =*K( — c s sin.?,c) -+-W,

V étant déterminable algébriquement, et W renfermant des logarithmes. Ces valeurs, et celle de la fonction K ( — c'sin.*?, c) déduite de la formule (10), étant substituées dans l'équation (/}, il en résulte

i». , /- Vtannr.iA , , Wcot.cp A(c,y) V ' ry \ A(o,0) / 0 V COt.0A(c,fl)

d'où il suit que tout kappa logarithmique peut être réduit à des fonctions d'espèces inférieures , si l'angle 0 de son paramètre est tel qu'on ait dig.(c, 6)=k D(c), k étant un nombre rationnel.

Lorsque le paramètre se présente sous la forme n= — ^T^p la combinaison de la formule (10) avec l'équation (4) du § 89, donne , pour valeur de la fonction complète ,

Il est à remarquer que les formules de réduction sont plus simples pour les kappa logarithmiques que pour les kappa circulaires , puisqu'elles ne contiennent point les fonctions D(6) et E(i), relatives au module complémentaire.

Observons aussi que la valeur de K( — c 1 sin. a fl, c) donnée par la formule (10), serait indéterminée, si l'on avait fl=£y, ou » = — c*. Mais alors on a généralement, pour toute valeur de f

. , . 1 c'sin.ccos.f ka P .(- C ,o, f )= F ep.. y - ,

et , par conséquent,

K(-cV)=lE(c).

§ 60. Nous terminerons ces recherches en faisant observer que la démonstration de la formule

mentionnée au §36 , est la conséquence immédiate de l'équation (5), quand on attribue à 0 la valeur |.