CHAPITRE VII
De la transcendante T.
§61. Les fonctions elliptiques de la troisième espèce renfermant trois quantités, n, c et y , Ton croyait généralement, avant que M. Jacobi eût publié ses travaux mémorables , que ces fonctions n'étaient pas susceptibles d'être exprimées au moyen d'autres transcendantes , qui n'en continssent que deux. De là , une véritable impossibilité de les réduire en tables, car en prenant pour arguments (*) l'angle A du pa« ramètre, l'angle 6 du module , et l'amplitude y, ces tables eussent été à triple entrée et auraient coûté des calculs prodigieux , même dans l'hypothèse où les arguments n'auraient procédé que de degré en degré. Les recherches du savant géomètre qu'on vient de nommer , l'ayant conduit à s'occuper de nouvelles transcendantes, qui se rattachent aux fonctions elliptiques , il reconnut que tout kappa logarithmique peut s'exprimer au moyen de deux nouvelles fonctions d'un et de deux arguments, q et 0 , dont nous traiterons plus tard. Ainsi, en ajoutant aux tables qu'on possède, la table des fonctions 0 , et une table auxiliaire pour calculer q au moyen du module (**) , on aurait été en état d'évaluer les kappa logarithmiques, à l'aide de tables à double entrée seulement. Legendre , qui apprécia d'abord toute l'importance de cette découverte , fit observer cependant qu'elle ne s'étendait pas aux kappa circulaires. Voici comment il s'exprime à cet égard :
(*) Ou appelle argument d'une lable , l'élément qui sert à trouver la fonction : ainsi , les angles sont les arguments des lignes trigonométriques , les nombres sont les arguments de leurs logarithmes, etc.
( M ) On la trouvera à la fin de cet ouvrage.
« M. Jacobi est le premier qui ait remarqué cette belle propriété , » que l'usage des fonctions 0, dont il est l'inventeur, lui a fait dé- » couvrir dans les fonctions elliptiques de troisième espèce , à parais mètre logarithmique. Il a annoncé en même temps, que la même » propriété pourrait aussi s'appliquer aux fonctions à paramètre cir- » culaire ; ce qui serait un très-grand perfectionnement de la théorie » des fonctions elliptiques , puisque la détermination numérique de » ces fonctions ne dépendrait , dans tous les cas , que d'un petit » nombre de tables à double entrée , dont les principales sont déjà h calculées. Mais , jusqu'à présent, les tentatives que j'ai faites pour » étendre aux fonctions à paramètre circulaire , la propriété qui est » démontrée pour les fonctions à paramètre logarithmique, sont » restées sans succès. Ainsi nous devons suspendre notre jugement » sur ce point , jusqu'à ce -que M. Jacobi fasse connaître les formules » par lesquelles il pourrait justifier son assertion.
» Dans le cas où il serait bien constaté que les fonctions à para- » mètre circulaire ne sont pas susceptibles de la réduction qui a lieu » pour les fonctions à paramètre logarithmique , il faudrait admettre » que les fonctions à paramètre circulaire constituent une quatrième • espèce de fonctions elliptiques , plus composée que les trois autres , » et qui ne peut se simplifier que pour des valeurs du paramètre ca- » racterisées par un symptôme général ; mais alors elles se réduisent » toujours à la première espèce , et ne peuvent plus être rangées » dans la quatrième. » ( Voyez la note IV.)
§ 62. Outre les fonctions réductrices q et 0 , on doit encore à M. Jacobi la découverte d'une autre transcendante , représentée par l'intégrale
Nous la nommerons la fonction upsilon , du nom de la lettre grecque employée à la désigner. Voici, à peu près, comment M. Jacobi expose la réduction des kappa logarithmiques au moyen de cette transcendante.
Soient p. et v des amplitudes telles, qu'on ait, pour le module commun c,
(1) dig./t = dig.,; dig.A,
(2) dig.v = dig. ? — dig.A ,
A étant l'angle du paramètre de la fonction kal.(A, c, f). On aura en même temps ( § 30)
cps.v eps.A — eps.y = c'sm.Asin.ysin.v, eps.y h- eps.A — eps./u = c'sin.Asin.?sin.yu.
D'ailleurs , les amplitudes fi et v se déduisent des amplitudes y et A , par les formules connues
sin.scos.AA(x) H-sin.Acos.pA(p)
(à) . . . . sm.ft= — - : 1 — —,
1 — c'siu. 9 Asin. 3 ç»
,,. sin.ecos.AA(A) — sin.Acos.oAC^)
(4) . . . . sin.v = : L LL.
v J 1— c'sin.'Asin.'p
Considérons maintenant la fonction
Z=T W -TW=yg- e p 8 ., t y±. ) eps.,:
si Ton regarde A comme constant , on aura , en vertu des équations (1) ^ (2),
dfjc. do d.dig.^=d.dig. f , ou -— = — ■ ,
et semblablement
dv df
donc
Par les formules précédentes , on a
(5) . . . eps.^u — eps.v=2eps.A — c'sin.Asin.^sin.^-f- sin.v), /BX . . 2sin.*cos.AA(A)
donc
Z= /^r eps.A— Sc'sin.Acos.AACA) S .' n ' f . 1-
*/a( ? )L 1 v ' l^-c'sin.'Asin.> J
•in.'f rfy — <%•? kal.(A,c, y )
(1— c'sin.'Asin.»?)^?) ~~ c'sin.'A"*" c'sin.'A
par conséquent
(7). . «eps.Adig.yn-cot.AAfA) [dig. ? — kal.(A,c, ? )];
résultat auquel il faudra ajouter une constante arbitraire.
Pour la déterminer, nous remarquerons que, puisque eps.y devieat — eps.p quand ? devient — il s'ensuit que l'intégrale
reste la même quand on change le signe de y ; d'où l'on conclut que T(ç>) est une fonction paire de ? (*). Or si l'on fait, pour un instant, f = o, on a yu=A, v= — A, et l'équation (7) se réduit à
= const.;
ce qui prouve que la constante est nulle.
§ 63. Avant de rechercher les propriétés de la fonction T, nous allons en donner une représentation géométrique, qui découle immédiatement de l'expression de sa différentielle.
Soient OA, OU (fig. 6), les demi-axes de la fausse ellipse, et Oo, Ob f ceux de l'ellipse génératrice (§ 16). Du centre O, menons un nombre indéfini de rayons vecteurs Or , Or', Or", etc. : aux points t'y r', r", etc., élevons les droites rp t r'p', r"p"y etc., perpendiculaires au plan de la fausse ellipse, que nous supposerons horizontal, et déterminons les points p f />', p", etc., par les conditions
r p = arc d'ellipse correspondant à l'amplitude BOr,
r'p' = arc d'ellipse correspondant à l'amplitude BOr',
r"p" =■ arc d'ellipse correspondant à l'amplitude BOr", etc.
(*) On appelle fonction paire , celle qui. étant développée, ne coutiendrait que des puissances paire» du la variabl« .
Ces points formeront une espèce d'hélice , dont la courbure variera continuellement depuis B jusqu'à D, où DE est égale à la demiellipse had. Mais à partir de D, la courbe recommencera à s'élever par les mêmes degrés qu'en B , parce que l'ordonnée verticale MF d'un point quelconque M , se composera d'une demi-ellipse , plus l'arc d'ellipse correspondant à l'amplitude FOE = BOr. Prenons sur l'axe vertical OH les longueurs Oq, Oq', Oq", etc., égales à rp, r'p\ ^'p", etc., et menons les droites pq, p'q', p"q", etc. : leur ensemble constituera un héliçoîde à hase de faune ellipse, qui jouira de la propriété suivante : Si l'on appelle y l'angle quelconque BOr, le solide , intercepte entre le plan vertical Oqpr, le secteur horizontal BOr et les deux surfaces courbes BOg/> et Bpr, aura pour valeur la transcendante T(c, ?), prise entre les limites ? = o et f =BOr.
11 résulte de la remarque que nous avons faite tout à l'heure , sur la variation de courbure de l'hélice , que la fonction T ne devient complète que quand on a ?=r. Pour trouver sa valeur dans cette hypothèse , examinons la figure 7 qui répète à peu près la figure précédente , les mêmes lettres désignant les mêmes points. La fonction complète T(r) sera représentée par le solide compris entre : 1° la base BAE; 2° les deux portions de surface cylindrique EDCAE et BCAB; 8° le plan DEOI; 4" l'héliçoïde OBCD1GO {fig. 6). Ou aura donc, en renfermant entre deux crochets la désignation des surfaces qui limitent chaque solide {fig. 7), /
vol.[OBA, BCA, CGOA, OBCGO] -*-vol.[KGC, EOA, KEOG, GOAC, AEKC] -<-vol.[KGC, DKGI, DKC, GCDIG].
Dénotons, pour abréger, par V, V, V" les trois volumes précédents, et par S et S" les volumes
[OBA, GNC, NBOG,GCAO, NBAC], [KGC, D1L, DKGI, IGCL, LCKD],
il est évident que
Remarquons , maintenant, que le volume égal à l'excès de S" Sur V", est précisément égal à celui que nous avons appelé V, car si l'on appliquait DIL sur OBA , la courbe DC se confondrait avec BC. Mais
par conséquent, en remplaçant S" — V" par sa valeur V , et V S" par sa valeur 2D (c) E(c), il vient
§ 64. Dans un mémoire publié en 1836 (Journal de M. Crelle , tome 15), M. Jacobi a fait connaître une propriété dont jouissent les fonctions T, qui est tout à fait analogue à celle que nous avons démontrée au § 82 , pour les fonctions elliptiques de la seconde espèce. Voici à peu près son analyse , dans laquelle nous avons remplacé la fonction n qu'il considère , par la fonction T son logarithme , afin de ne pas multiplier les transcendantes sans nécessité.
Nous avons vu aux §§ 32 et 54, que plusieurs formules relatives aux epsilon et aux kappa , prennent une forme qui met en évidence la propriété qu'elles expriment, quand on regarde ces transcendantes comme des fonctions du digamma de même module et de même amplitude. Comme il en est de même pour les fonctions T, nous suivrons la notation adoptée dans les paragraphes précités. Changeons p et q en p r et q r dans la formule (12) du § 32 : il viendra
(8) . . eps.amp.(p-+-r)-^eps.amp.(ç-4-r) — eps.amp.(p-*-g-t-2r)
=c , sin.amp.(/)H-r)sin.amp.(5-f.r)sin.arop.(pH-ç+2r).
Changeons dans celle-ci p en zéro et q en p q : nous obtiendrons
(9) . . . eps.amp.r-f-eps.amp.(jî-4-g-f-r) — eps.amp.(jo-*-gf*+-2r)
=c , sin.amp.(r)sin.amp.(p-+-ç-4-r)sin.amp.(p-t-g-4-2r).
Retranchons l'une de l'autre les équations (8) et (9) : nous aurons , en faisant usage de la formule (/*) du § 24 ,
(10) . eps.amp.(/)-4-r)+eps.amp.(^-4-r)-eps.amp.r-cps.amp.(/H-ç+r)
=c*si n . amp . (p q -t- 2r)sin . amp . (p)sin . amp . (q) X[l-c'sin.amp.(r)sin.amp.(/>+r)sin.amp.(î4-r)sin.amp.(|>+ç4-r)].
Observons qu'on déduit de cette même formule (f) ,
[l~c , sin.amp.(r)sin.amp.(p-«-r)sin.amp.(9-4-r)sm.amp.(/>-4-9+r;] X[l-4-c , 8iD.amp.(p)sin.auip.(9)sio.amp.(r)sin.amp.(p+9+r)] =1 — c'sin.'amp^rjsin.'àmp.fp+ç+r) :
par conséquent
eps.amp.f/>+r)+ep8.amp.(fH-r)-ep6.amp.(r)— eps.amp.(p+9+r)s
c'sin. amp.(p)sin. arop.(ç)sin.amp.(p-4-g+2r)[t — cHin'. , amp.(r)sin. , ainp.(fH-4M-»')] l+c t 8in.amp.(p)sin.amp.(9jsin.amp.(r)siii.anip.(p4-î+»*)
Mais si Ton change simultanément p en zéro et q en p -4- q dans l'équation (12) du § 2-4 , on en déduit
[sin.amp.(p-i-9-4-2r)][l — c'sin.'amp.^sin.'amp.^-t-ç-i-r)]
cf[sin . a rap . (r)sin . amp . (p q r)]
il vient donc, en substituant,
eps.amp. (p r)-*- eps.amp. (g -*-r)— eps.amp. (r)— eps.amp.(p-i-g-t- r)**
rf.lo^^l-t-c'sin.amp.fpJsin.amp.f^sin.amp.^sin.amp.^H-o-i-r)]
d où Ton tire , en intégrant,
Tamp.(p + r) -4-Tamp.(ç r)— Tamp.(r)— Tamp. (p-f- q + r) 4-const. = log.[l-+-c*sin.amp.(/))sin.amp.(g)sin.amp.(r)sin.amp.(p-i-g-4-r)].
Pour déterminer la constante, nous ferons r=o dans les deux membres ; ce qui nous donnera
T amp./> T arap.g — Tamp.(p-4-ç) const. =o ,
et finalement
(H) Tamp.(/>-t-c)-4-Tamp.(p-+-r)-»-Tamp.(g+r)
— [Tamp.p-*-Tamp.ç-+-Tamp.rH-Tamp.(p-*-ç-*-r)] ==log.[l-4c 3 sinamp./>sin.amp.9sin.amp.rsin.amp.(/}-4-9-4-r)].
Si Ton fait ^ = — r, comme Ton a en général Tamp.(— ar)=Tamp.^, la formule précédente devient
(12). . . 2(Tamp.p-4-ïamp.<7)=lamp.(jt)-4-ç)-t-Tamp.(p-g) — log.(l — c'sin.'amp.p sin.'amp.g).
Mais si l'on change X en $ dans les formules (1), (2) et (7), on aura en posant , comme de coutume , p = dig. g = dig. $ ,
Tamp.(/H-9)-Tamp.(p-ç)-2^(eps.amp.g-*-cot.amp.gAamp.g)
+ 2cot.amp.gAamp.g kal.(amp.g, c, amp.p)
Cette équation, combinée avec la précédente, donnera la formule fondamentale
/ïamp.jM-ïamp.g— Tamp.(p-4-^)=cot.amp.gAamp.gkal.(amp.g ; c,ainp.p)
(13) . < — p(eps.amp.g-f-cot.amp.gAamp.g)
' — £ log.(l— c'sin.'amp.psin.'amp.g).
La composition du premier membre étant telle qu'on peut y permuter p et q, on peut faire la même chose dans le second ; ce qui donne immédiatement la formule (f) du § 58, relative h la permutation de l'amplitude et de l'angle du paramètre dans les kappa logarithmiques. Et comme , à l'aide d'une transformation imaginaire , on peut déduire de la formule (f) , la formule (e) relative aux kappa circulaires, il s'ensuit que nous eussions pu tirer de notre formule, la plupart des résultats mentionnés au chapitre VI.
§65. Si l'on prend g = D, et que l'on change en même temps p en — p dans la formule (13) , on obtient
(14) . Tamp.j> -4- Tamp.D — Tamp.(D— p) —pï. — log. a amp.p. Soitp=D, et l'on a
Tamp. D = 4 DE — *log. b :
et si p = 2D , il vient
Tamp.(2D)=2DE = T(T)}
résultat déjà trouvé par la géométrie (§63).
Si l'on change/? en2D — p dans l'équation (14), on trouve, en observant que sin. amp. (2D — p )=sin. amp.p,
Tamp.(2D p) -t- Tamp.D— Tamp. (D~p)=(2D— p;E -log. Aamp.p.
Eliminant log. Aamp.p entre cette équation et l'équation (14), il reste
(15) Tarap.(2D — p) — Tamp.p=2E(D —p) ;
formule que Ton peut également écrire sous la forme
(16) T^T(r- ¥ )-2E(D-dig. ? ).
Cette équation fera connaître la fonction T ? depuis £t jusqu'à t, en la supposant connue depuis f—o, jusqu'à ? = £ jt. Or, il n'y aura jamais lieu à passer la limiter, quand on appliquera la formule (7) au calcul de la transcendante kal.(A,c, c.). En effet, les
amplitudes ? et A étant comprises entre o et f , l'amplitude fi du digamma égal à la somme dig. ? -4- dig. A, ne pourra jamais dépasser r. Soit donc ^ = \ t -h <f , et la formule précédente deviendra
Tftsr-f. <f) = T(\r — ê) -4-2E[D — dig.(*r — j)].
Si l'on change le signe de f dans la formule (16) on pourra , des deux équations, tirer les formules suivantes :
T(r h- f ) — T(r— ?) =4E dig. ? ,
T(t H- ? ) -4-T(t— ^)=2Ty -f- 2Tt.
Dans cette dernière , faisons successivement y = £x, r, | t, 2t, etc., et nous aurons, en ayant égard aux résultats déjà trouvés,
T2r = £DE — ilog.fc, ?x = 2DE,
y|t = t^t -+- 2ït, t2,t = 4ït,
T|r=YiT 6ït, ï3t= 9ït,
ï^t = T5T 12ït, t4t=16tt,
l|T = ïir -<-20ïr, ï5t==25ït, etc. etc.
Il s'ensuit que n étant un nombre entier, on aura généralement
ftn+l\ /2n-+-l\ a 1 ïl — - — Jt== f — - — J Tx + i log. -,y«T = » ÏT.
Si l'on imagine donc une parabole, représentée par l'équation
et une courbe dont les abscisses soient y et les ordonnées T ? , c'est-àdire dans laquelle on ait simultanément
x=f ety = ïy,
chaque fois que l'abscisse x de cette courbe deviendra un multiple entier n, de*-, son ordonnée sera égale à celle de la parabole, tandis qu'elle la surpassera de la quantité constante \ log. |, dans tous les points où l'on aura x = ( n-f- £ ) a-.
§ 66. Si l'on prend <7=p dans la formule (12) , on a l'équation
(17) . . ïamp.(2/>)=4ïamp.p-*-log.(l— c 2 sin. 4 amp./>) :
en la combinant avec les formules qui servent à la duplication et à la bissection des digamma , et qui sont (J 20)
lang. i amp.(2p) = Aamp.p tang. amp p ,
. . sin.iamp.p sin.amp.(ip) = —
1/ £ H- ± Aamp.p
on voit qu'il sera facile d'assigner l'upsilon qui répond, soit à 2"/> , soit à Ainsi, par des bissections répétées du digamma, on pourra faire dépendre un upsilon proposé, d'un autre upsilon aussi petit que l'on voudra.
Nous avons vu au § 83 , la formule
(18) . . . . eps.amp.p==p— -i— h etc:
en multipliant les deux membres par dp , et en intégrant , il vient
(19) . . . . Tamp.p = f— iiL. + ^ etc.
L'exactitude de cette formule dépend de celle delà formule (18) : or, lorsque c = lj on a eps. amp. p = sin. y , </p=^, et, par conséquent, l amp.p= — log. cos. y; ce qui permet de vérifler aisément jusqu'à quelle limite la formule (19) est applicable.
Dans le cas où l'on voudrait calculer des tables d'upsilon , il ne serait nécessaire d'employer la formule (19), que depuis p=o jusqu'à p = |D. En effet, la formule (14) donne, en remplaçant Tamp.D
par sa valeur i DE — { log.6 ,
ïarap.(D— /)) = ïamp.p -♦- E(*D —p) -+- log.
équation par laquelle on fait dépendre l'upsilon d'un digamma proposé , de celui du digamma complémentaire.
§ 67. Si l'on fait q=p dans la formule (13), il vient
2ïamp./> — Tamp.(2p)=cot.amp.p Aamp.j»kal.(amp./>, c,amp./>)
— ^(cps.amp.pH-cot.amp.pAamp.jB) — ilog.(l — c* sin. 4 amp./>) :
combinant ce résultat avec l'équation (17), et remplaçant p par sa valeur dig.j> , on obtient
ï f =idig. f [eps.<p cot.?A(?)]
— — c 9 sin.* ? ) — icot. ? A(?)kal.( ? ,c, f ) ;
expression dans laquelle il faut observer que la fonction kal.(®, c, f) représente l'intégrale définie
J (1— c'sin.'fsin.'ajA^O) "
Nous avons vu au § 58 , que la fonction kal.( ? , c, 0) peut se réduire à des fonctions d'une espèce inférieure , si l'angle f du paramètre est tel que dig.?=*D(c), k étant une fraction rationnelle quelconque , ou un nombre fractionnaire. Par conséquent , il en sera de même de l'intégrale dcûnie qui précède , et par suite de la transcendante Ty. On peut donc énoncer la propriété suivante : La transcendante ï? peut se réduire à des fonctions des deux premières espèces, chaque fois que son amplitude est telle , que f— amp.{kD) y k étant une fraction rationnelle quelconque, ou un nombre fractionnaire,
§ 68. On pourrait croire, au premier abord , que la transformation imaginaire de sin.y en \S — 1 tang.y' , au moyen de laquelle on change les kappa logarithmiques en kappa circulaires (§42), servirait à exprimer ces derniers en fonction de la transcendante T, en profitant de l'équation (7), qui lie cette transcendante aux kappa logarithmiques. L'analyse suivante fera voir l'erreur de cette supposition, et indiquera en même temps, l'obstacle qui s'oppose à la réduction dont il s'agit.
Soient les équations
(20) | dig.^==dig. v + dig.A,
( dig.v=dig. ? — dig.A,
et, par conséquent,
eps.? •+• eps.A — eps.^== c* sin.p sîn.A sin./* , eps.v -t- eps.A — eps.y = c a sin.? sin.A sin.y ,
(21) . . 2eps.A-4-eps.v— eps.^=c , sin.^sin.A(sin.^ + sin.v). Faisons sin. A —V — 1 tang. A' ; d'où
(22) . . eps.A^^^dig.^A')— eps.(M')-4-A(M')tang.A']. Si A est constant , il résulte des équations (20) que
dp df dv df
et l'équation (21) deviendra, en multipliant chacun de ses termes , soit par soit par l'un de ses équivalents ,
/«ç>\ a Al dv dfx, . sin.t^f
23).2eps.A-- +eps.v— -eps./ti =c'sin.A(sin./uH-sin.v)— — .
En vertu des équations (20) , on a
lfi\ sin.fCos.A a(â)± sin.Acos.? a(?) (y) 1 — c'sin.'f sin. J A
cos.^cos.Aqpsin.f sin.A a(c)a(a)
v) 1 — c*sin.>sin.'A
ou, en remplaçant sin.A par sa valeur j/^Ttang.A',
sin.^j A(6,A') db|/— 1 cos.çA(c,y)sin.A'cos.A'
cos. 3 A' ■+- c'sin. 'A' sin. a y
cos.^cosVqzl/— 1 sin. P A (c^jsin.A'A (o,A') cos. 3 A'-t-c a siu. a A'sin.^ d'où
2sin.?A(fr,A')
sin.f« 4- sin.v —
cos.'A' c'sin.'A'sin.^
Reportant cette valeur, et celle de eps. A donnée par la formule (22), dans l'équation (23) , et désignant , pour abréger, par A' le polynôme qui multipliera |/ — l dans le premier membre , après ces substitutions, il viendra
, d? dit dfi
2K— 1 A' — eps.v — — eps.^K — - =
A ^ a(v) r A [fi)
. sin.'œ d?
2cV-ltang.A'A(6,A') — , . .„ . , -
° v ' cos.'A'-t-c'sin.'A'sin.'? A
2cV— Tsin.A' A (M') sin.'y rfy
cos. 3 A' 1 -t-c a tang.'A'sin. a y a
intégrant des deux parts et divisant par 2 V — 1 , on a
c'sin.A'A(6,A') r sin. a ? d ?
— -/ — Adig.cp.
j.3 A ' J l+c'tang.'A'sin.'y a u t
COS
Il est aisé de voir que la fonction soumise au signe J \ est réductible aux kappa circulaires , au moyen de la formule (a) du § 8. La difficulté consiste donc à substituer au système des équations (24) et (25) , qui contiennent des imaginaires , un autre système d équations entre des quantités réelles.
Il est à remarquer que les sinus et les cosinus des amplitudes p et v, peuvent s'obtenir sous une forme réelle. Pour nous en convaincre , cherchons la valeur du binôme cos./ttn- V — 1 sin./tt: nous trouverons , par les formules (24),
(cos.^ sin./ti) (cos.'A' c'sin. a A'sin a ? ) = cos. ? cos.A'[l— sin.A'A(c, ? )]-*-V / ~sin. ? A(6,A')[l--sin.A / A(c, ? )].
En observant que
cos.'A' -f- c'sin.'A'sin. 2 ? = 1 — sin.'A' A a (c, ? ) = [1 + sin.A'A (c, ? )] [1— sin.A' a(c, ? )] on obtiendra, par la suppression du facteur 1 — sin.A' a (c, ?),com-
mon aux deux membres de l'équation précédente,
, y — — . cos.X'cos.o -i-l^ — 1 sin.eA(£,A')
d'où Ton conclurait, en considérant cos./k et sin.^ comme des quantités réelles , mais d'une grandeur quelconque ,
cos. A' cos.o u gin.» a(©,a')
cos.jx — - : — -— — - , sin./ct =
• H Sf- • mm
1 •+- sin A'a(c, ? ) 1 sin.A' a(c, ? )
Si Ton fait la somme des carrés de ce sinus et de ce cosinus, on trouvera
1 — sin.A'A(c, f)
