CHAPITRE VIII

Développement des fonctions elliptiques en séries.

§ 69. Les fonctions elliptiques sont susceptibles d'être développées en séries très-convergentes , dont tous les termes sont des fonctions connues de l'amplitude. L'utilité des développements de cette espèce, pour la solution d'une foule de problèmes d'analyse appliquée à la physique et à la mécanique, nous a engagé à faire sur cet sujet des recherches nouvelles , dont nous allons exposer les résultats (*).

Développements des digamma. Si Von fait sin.f t= x dans l'équation

/ Z=dlg.y,

J c'sin.'ç

celle-ci devient

/ . — = =dig. ? .

En développant ç> l ^ c î^.ï en série, dig.y devient égal à une suite

d'intégrales de la forme J y/ X ~ t > qui 8 « rapportent , par conséquent, aux différentielles binômes. Si l'on effectue les calculs , et que Ton

O Les séries qui procèdent suivant les sinus ou les cosiuus d'arcs multiples, ont été trouvées par Lcgcndre, ainsi que les séries (6) et (11). Le développement de Tare d'ellipse est donné par plusieurs auteurs.

désigne par A , l'arc dont le sinus est x , il viendra

dig. r =A

rT / 1 1.5 . 1.3.5 \ t/ - 1.3.5 "1

etc.

d'où l'on tirera, en mettant à la place de A, de x et de \^\ — x* , leurs valeurs ? , sin.p et cos.ç» ,

f « « /, P , l a .8' 4 l\3 a .5' ft \

(1) . . dig. ? =^l + ~c'-4- — c^^-^ce + etc.j

sin. f cos. ? L— c'-4-c^-su>. ? +