di>. ? A 1 1 sin.ccos.o

et comme le terme \ ^^'^ disparaît quand ? =90 a , on tire de cette équation

dD

ce qui donne , en différentiant ,

dE dD d'to dD

Mais Ton a aussi

5T JT

éliminant E et entre les trois équations précédentes, il vient finalement

C'est là l'équation différentielle dont dépend l'intégrale définie

|/cos.' ? -+- A'sin.'ç»

En considérant cette intégrale comme une fonction du module c , on obtient pareillement

d'D 1 — 8c 3 <JD

équation semblable à la précédente. Il faut remarquer que la forme de ces équations est telle, que si y est une intégrale particulière de l'une d'elles , Cy en sera une autre , C étant une constante arbitraire.

L'équation (5) établit une relation entre D(c) et le module c , qui doit subsister également entre D(6) et le module b. On a donc aussi

comparant ce résultat à l'équation (4) , on voit sur-le-champ que cette équation, qui a pour intégrale D(c), doit aussi admettre pour intégrale D(o).

Il sera démontré au § 88 , que si b est assez petit pour qu'on néglige ses puissances supérieures à la première , D(c) a pour valeur approchée log. \. Soit donc posé

D(c)=riog.(J) + n,

P et Q étant des suites ordonnées suivant les puissances de o': si l'on substitue cette valeur dans l'équation (4), on trouvera que l'équation pour déterminer P , est absolument semblable à celle qui détermine D; d'où il suit que P pourra être représentée par une intégrale particulière de l'équation (4) , multipliée par une constante indéterminée. En prenant pour cette intégrale D(o) , dont la valeur donnée par l'équation (2) est

D(b) = - 1 -+- — - b* — - b r > + etc. ,

on aura , par conséquent ,

D(c)=C. \ ( 1 -k£ b' + i!£ i« + etc.] loj. Q + Q ; et, puisque cette série doit avoir pour premier terme log. auquel

elle doit 8e réduire quand on néglige les puissances de b\ il est évident qu'il faut prendre C = ~ ; d'où

b Q -4- etc.

Désignant par m', m", m'", etc., les coefficients des puissances successives de o' dans celle série, en sorte qu'on ait

P = l -f- m'b* m"/» 4 -+- m'"/» 6 etc. , nous supposerons

D(c) = (1 -4- -4- m"M -4- m'"& 6 etc)log. - — m'A'6' — »»"A"M — m"'A"'i 6 — etc. :

substituant celte valeur dans l'équation (A), on aura, pour déterminer les nouveaux coefficients A', A", etc., l'équation suivante, dont les termes suivent une loi très-simple ,

-f-Gm'

6« -4-1 4ro"'

6 8 H-ctc.

— lCm' v

— etc.

- 8»m lv A' v

— 10'mVAv

— etc.

-f- 9*mivA'v

-4-elc.

Observant ensuite qu'on a

etc.,

on trouve successivement

elc. :

tic sorte qu'on a , en général ,

et que la valeur complète de D(c) se développe ainsi

4 1 / 4 \ D=lo S .- + -A'(lo:;.--l)

-4- etc.

Les coefficients À', A'', A'", etc., suivant une marche croissante , on pourrait craindre de tomber sur un coefficient A("), assez considérable pour rendre divergente la série ci-dessus, à partir du terme correspondant à A( rt ). Pour nous rassurer à cet égard, cherchons ce que devient A(") lorsqucnest infini, ou, en d'autres termes, sommons la série

1 ^ h 1 -+- — -— -+- etc. ,

dont la valeur sera , par conséquent , la limite supérieure des coefficients dont il s'agit. Considérons , à cet effet , la suite

u — 1 1 -+- etc.,

qui peut être mise sous la forme

/ s 3 x-> x 1 \ u = 2* \x - -+- — -*-—-*- etc. J

(X* X H X B \ x* h - -+- — -+- etc. ) .

On aura , par la sommation de ces suites ,

(1 — -1 -+-log.(l— * 3 )=(1 +:r)log.(l *)log.(l— *):

faisant ar= 1 , on trouvera «=2log. 2 == 1.S86, pour valeur de la série cherchée.

§71. Pour développer dig.? suivant les sinus des multiples de l'amplitude , on commencera par faire

(7) . . . . — 2A,cos 2y-»-4A a cos.4î>— 6A 3 cos.6?-+-etc,

puis , ayant déterminé A, A, , A a , A 3 , etc., on multipliera les deux membres parrf ? et l'on trouvera, en intégrant,

dig.?=Af> — A^in.2?-*- A a sin.4y — A 3 sin.6? + etc. Posons donc

l-b . e r <V=î—c-vV=î

C/ ===—-, SlD. f = — ; ,

on aura

d'où

et, si l'on représente par P et Q les développements des binômes

(l+c^r^lll+c^)-*, c'est-à-dire , si l'on fait

p ! I c M 4 ? k=î 1 .8.8 ool/=l

on aura