c 1 c, Ne

^Nc, n , et ■• •

L'usage des séries précédentes sera d'autant plus avantageux que c, sera plus petit; mais si c, est trop grand pour que ces suites aient une convergence rapide , on multipliera successivement les deux membres de l'équation (7) par d?, d f cos.2?, d f cos.4ç», etc., et prenant de part et d'autre l'intégrale depuis y=o, jusqu'à ^ = 5 x , on aura

/»2 S il j 2

£?=A.^— A, / co8.2?. 2df+ fi t l cos.4y . Ad ? — c(c. ,

co8.2y.rfy __ A f cos.2p.df— 2A, / cos.^p./I^A, / «w^.cos.^.rfp— etc.,

2 X>2 cos. ? d? =A J cos> 4 ? , ( ^2A 1 / cos.2 ? .cos.4' T .€fç,-MA 4 / cos.Mp . <fç> — etc.

L'intégration des seconds membres de ces équations, ne dépend que de la formule

y'* sin.(m-f-M)? sin.(m — n)?

COS.m-j. C08.»:;.O- r = — — -\ — — , 1 r r 2(m-+-n) 2(m — n)

dans laquelle le terme ""f" s'évanouit entre les' limites o et

tandis que le terme "°^£"j ? se présente sous la forme 5 , chaque

fois que mc=n, et a pour valeur vraie , entre les mêmes limites , \- \* On aura , par conséquent,

A i= fi 5-- /%^,§= y*=*.~

Remarquons que le cosinus de 2m peut toujours s'exprimer par des puissances entières et positives de sin.'y : ainsi, chaque coefficient peut se déterminer, en particulier, par une intégrale définie , et toutes ces intégrales ne dépendant que de fonctions de la forme

(<x-*-/3sin. a ? •+■ ysin^^-f-eTsin^y ^-etc.)^.,

elles pourront s'exprimer par les fonctions complètes D et E, qu'on sait évaluer, dans tous les cas, avec la précision nécessaire.

§ 73. Développements des epsilon. Pour ces fonctions , la formule analogue à l'équation (1) est

1 T C *~¥J* C '~~¥^Â> 5c6 - etc -)

h- s,n.,cos.,^4-— c^-sin.',-*--) 1.3 M . t 5 . 5.3 \

+■ ^ , „ c - sin. 6 ? -+- — sin. 4 »-*- — — sm. — 2.4.6.8 \8 r 8.6 Y 8.6.4 r 8.6.4.2/

-h etc J;

d'où l'on tire, pour l'epsilon complet,

(9). . Yi = ;(l-^c*-~W g c 6 etcl

v / 2\ 2 a 2\4 a VA>& 2 I

Dans le cas où c est très-voisin de l'unité, on posera , comme pour les digamma , sin. ? = x ; d'où

Développant le radical en série , on tombera sur des intégrales de la forme jfx- (1 — x*)-P dx (§ 69) : remettant pour x sa valeur sin.? , on trouvera finalement

- iXë 4 le tans - f - H lme - f + ÏTï tan6 -' f )