il
Cette formule n'est convergente, en général, que dans le cas de b tang. f < 1 . Dan£ le cas contraire , on opérera d'une manière analogue à celle qui est indiquée au § 69 , en se servant des équations
lssàtang.^tang.^. eps.? h- eps.<^ = E -i- c'sin.ysin.^.
La fonction complète E se déduira de la formule (6) , au moyen de la relation E = o a D — (6-o 3 )^ démontrée au § 70, et l'on trouvera
IM^^^/ 4 t 2 2 1\ + FT^ 8 1 \ H ' b- l -U-S3-7Â)
2 J .4\6.8*10 \ b 'o 8.4 5.6 7.8 9.10/ \ h- etc.
Le développement des epsilon suivant les sinus des multiples de l'amplitude , s'obtenant de la même manière que pour les digamma , nous renverrons le lecteur au § précédent.
§ 73. Dèveloppenients des kappa circulaires normaux. Il faut distinguer trois cas. La formule générale étant
kn P .. r yi
k* sin.'y)A '
k désignant a (A, à), on peut avoir 1° k et c tous deux très-petits.
Dans ce cas, nous développerons (1— £*sin.*f) —l et (1— c'sin.*?) en deux séries que nous multiplierons l'une par l'autre. Après avoir ordonne d'après les puissances de sin.'?, nous multiplierons le tout
par d?, cl nous intégrerons. Faisant alors
A=** -+- lc\
A"'=*s -i- - AV -f- — -**c« -h — -r*^ H- — — c* , 2' 2.4 2.4.6 2.4.6.6
A'v = etc ,
nous obtiendrons la formule suivante :
(12) kap.(-*',c, f )= -
/ 1 1.3 kf 1.8.5 „ 1.3.5.7 , \
in.:,cos.? -A -h A I — sin. oh -4- A -sin. 4 *-*- — sin. h
,„(l . « 7 • 7 -8 • 7.5.SX H
- A l8 s,n • ^8i s,n - 4 ^iTw M -> + ir6Xî) - etc )
2° * très-grafïd , c très-petit.
Par les formules du chapitre V , tout kappa circulaire peut être ramené à un autre kappa dont le paramètre estw=csin.O (§ 43). Tour opérer comme dans le-cas qui précède , il faudra multiplier (l -4-csin.O. sin.'?) -1 par (1 — c* sin 3 ? )~ X *d?, puis intégrer. La formule relative à ce cas est , en posant
A=csin.O — ^c 1 ,
A'=c' sin.'O — -c 3 sin.O -f- -^-c 4 ,
A"=*rsin. 3 0 c 4 sin. a 0 h c J sin.0 — - ■ c 6 ,
1 , 1.3 B . 1.3.5 , . 1.3.5.7 ft A'"=c 4 sin. 4 ô — - c 5 sin. 3 0-H c 6 sin. 3 o--— -c 7 sin.d-+- c* (
A>v=etc ,
— sin
(13) kap.(csin.0,c,y);
/ 1 1.8 , 1.8.5 „ \ h sin.j> cos.y — l-sin.'y-h — j l6 f 6.4 ? 8.4.2/
— etc.
On peut aussi développer la fonction proposée sans transformation , mais la série est moins régulière que la précédente. Si Ton fait 4* = 1 — A% on aura
kap.(-*% c, ? )=y^ 8 .» ? ^A»sin. a ? )A == l/L8.» f (l-4-AHang. !, ? )A : développant
(l+A'tang.*?) -1 et (1— c a sin. a ? p*,
puis faisant sin.? =a? , il viendra , en intégrant ,
(U) kap.(-*%c, ? )-
A-BA' + CA* — DA 6 + etc.
-»- s c a A,— -c a A a B a ■+■ - c a A«C,— -c a A 6 D, h- etc. 2 2 2 2
+ 53 c4A ^274 c4AaB ^ U c4A4C ^ u™^ 10 '
■ c"\ r — etc.;
série dans laquelle on a employé les abréviations suivantes :
=tang.^,
/» dx
x*dx 1 tang. 8 ?
"t/ ( ! — 3 8in ' a ?
* 4 dr 1 tang. 5 ?
~J (l-ar a )3 » sin.' v
x*dx 1 tane. 7 * 5 „
(!—*')* 7 sin.> 7
/' x'dx (!-*•)!
tang. ? — ? ,
B a = / - s =- tang.3- r — A 2 ,
/* x h dx — -»=
- tang.» f — B a ,
itaog. 7 ? — C a ,
.=sm.'ftang.f H — sm.* r cos.y
/* xHx 1 . 5 — •- — -sin. a - r . tang. 3 v — - A 4 ,
P x*dx 1 7
C, = / r = -sin.%tang. 5 ? B 4 ,
px {n dx 1 9„
D, = / r=-sin.' t tang. 7 v C 4 ,
/> x«dx /5 1.3.5 . \ 1.8.5 -=sin. 4 v tang.îH- -sin.3s + sin.» cos.s>- v, (1— U 2.4 / 2.4
/» ûfidx 1 7 =- sin.« ? U">g» s ? A 6 , (\-x>Y S 3
/» x XQ dx 1 9 -= - sin.yang. 5 r B 6 ,
A„= / 5 *= etc.
La formule (14) peut être divergente, si ? n'est pas suffisamment petit. Dans ce cas , et en général dans tous ceux où une fonction de troisième espèce se développera en série ascendante , suivant les puissances de tang.-j) , on commencera par ramener le kappa proposé à un autre kappa d'une amplitude moindre , au moyen de la formule du § 58 ,
kap. ? + kap.^ — K = -^arc ( tang.
1 /. nVa sin.ycos
Va \ i-t-n A
dans laquelle i=amp. (D — dig. ? ).
3° k et c tous deux très-grands.
Ayant remplacé A a et c 1 par leurs valeurs 1 — A' et 1 — o% on aura à intégrer la différentielle
cos. 3 ï(l A'tang.'?)|' / l-«-£Uaog. , f
dans laquelle on remplacera (1-*- A* tang.' J^ 1 et(l-t-o ? tang.'y) - * par leurs développements en séries. On trouvera , pour résultat de l'intégration ,
\8 cos. 8 ? 8.6 cos. u ? 6.6.4 cos. 4 ? 8.6.4.2 cos -f- etc J ;
formule dans laquelle on a fait , pour abréger ,
etc.
Elle peut devenir divergente, par les valeurs considérables que prennent les fonctions de ? qui multiplient A, À', A", etc., lorsque ? surpasse une certaine limite. Dans ce cas , on remplacera la fonction proposée kap. ( — £ 1 ,c,p)=kac. (A,c, y), par la fonction kac. (y,o,A), au moyen de la formule (e) du § 86. Ce nouveau kappa, ayant pour paramètre — — (1 — c* sin. 3 *), et pour module b f quantité trèspetite dans le cas actuel , on pourra le calculer par la formule (12) , si l'amplitude $> est très-grande , et par la formule (13), si cette amplitude est tellement petite , que le paramètre — k' a soit voisin de l'unité négative.
§ 74. Si l'on voulait développer la fonction générale
kap.(n,c, ? )^ iT -^ )A ,
suivant les sinus des multiples pairs de l'amplitude , il faudrait supposer
kap.(w,c,?)=M? — M^in.2^-4- M a sin.<4y — M 3 sin.6 r etc. , et l'on aurait pour.déterminer les coefficients M, M,, etc., l'identité
(16) — — =M— SlM.cos.Ss-H-iM-cos.-ic-eM^cos.es-hetc.
v ' (1 -+-nsin. a v )A 1 r f
Si Ton fait ? = i x , on aura K (n, c) = M. i x : ainsi le coefficient M est déterminé par la fonction complète K, dont on connaît la valeur en digamma et en epsilon (chap. VI). On pourrait , de même, déterminer M„ M a , etc., par la méthode suivie au jj 7I pour les digamma , et l'on obtiendrait , pour valeurs de ces coefficients , les intégrales suivantes, prises depuis ^ = 0 jusqu'à ^ — \x,
— 2 r* dy.cos.2-j, ,= ^(T^fisin.'^I'
««. 2 f* cfo.cos.4?
xj (1 -+- nsin. ? )a
r,/ (1 -+- nsiii.>}A '
etc
Mais , quoique ces intégrales puissent être exprimées au moyen des fonctions de la première et de la seconde espèce , elles ne peuvent guère être utiles dans la pratique , à cause de leur complication toujours croissante, et parce qu'elles contiennent comme diviseurs, des puissances de plus en plus élevées du paramètre n qui peut être trèspetit. 11 faut donc avoir recours à d'autres moyens.
Si l'on développe la fraction i 2 ^~, -,t^ï » en série ascendante suivant les puissances de a, par la méthode des coefficients indéter- ,on trouve
- = l-*-2acos.5-+-2<x'cos.23+2a 3 cos.8.5 -4-2a w cos.ro*
1— 2acos.
comme il est aisé de le vérifier ; car si Ton mulliplie cette série par le dénominateur 1 — Sacos. s «%on retrouve le numérateur 1 — «%
en observant que
Scos.m*. cos.*=cos.(w -+- l)a -f- cos.(w» — l)a ,
quel que soit m.
Faisons dans le développement qui précède ,
s = 2?, a= — , cos.a= 1 — asin . y ,
et nous obtiendrons
1 wsin. a ç>
