a cos. 2 ? -f- 2a*cos.4? -t- 2a 3 cos.Oy -f- etc
D'un autre coté, on est censé connaître les coefficients A, A,, A a , A 3î etc., qui satisfont à l'équation du § 71 ,
! =A— 2A,cos.2 ? ■+- 4A a cos.4y — 6A 3 cos.6? -+- etc. : à
il ne s'agit donc que de multiplier les seconds membres des deux équations précédentes , et d'en égaler le produit, compare au premier membre de l'équation (16) , à la suite
h (M — 2M, cos. 2? 4M, cos. 4? — 6M 3 cos. 6? -+- etc.) ,
dans laquelle h — \^\ -+- n. Ce produit, convenablement disposé, donnera les valeurs suivantes des coefficients que l'on cherche :
AM = A — 2<xA, -h 4<x a A a — 6* 3 A 3 -f- 8a 4 A 4 — etc. , a (AM -4- A)
— 2A, 4a A, — 6*'A 3 8a 3 A 4 — etc. , «•(AM + A) — 2*A,
4A a — 6*A 3 8*'A /t — 10* 3 A 5 -h etc. , (AM -4- A) — 2«*A, h- 4aA a 6A 3 -4- 8aA 4 — 10« a A 5 -+- etc. ,
8AM ^ ( a *^^ ^) — 2« 3 A, 4«'A, — 6«A^ ( -f- 8A ; - IO«A--t- 12* A t; ~ etc.,
etc.
— 2AM, = j
4AM a = -6AM 3 = | ^
La loi de ces expressions est très-facile à saisir ; d'ailleurs connais* sant déjà les coefficients A, A, , etc., et la constante & étant toujours une fraction assez petite , il est clair qu'on pourra prolonger indéfiniment le calcul des coefficients M, M, , etc., sans craindre de multiplier les erreurs; avantage qu'on n'obtiendrait, peut-être, par aucune autre méthode. On aura donc, avec toute la précision nécessaire , le développement cherché.
§ 75. Les kappa circulaires ne paraissant point susceptibles d'être ramenés à des fonctions plus simples, les développements (12) et (18) peuvent être d'une grande utilité dans la pratique , pour le calcul de ces transcendantes.
Ces développements se composent de deux espèces de fonctions auxiliaires: les unes A, A', A", etc., qui ne contiennent que le paramètre et le module, les autres qui ne contiennent que l'amplitude. Désignons ces dernières par *, , * a , *a , etc., en sorte que
= - sm.\ -i- — — - sin.'p 4-
* 3 = - S,„.« f + — S.».' ? H- — ... y + sÂJÂ'
etc.
Si l'on remarque que ces fonctions * se trouvent également dans les séries relatives aux digamma et aux epsilon ; que de plus , elles donnent , par un calcul très-simple , la valeur des intégrales de la forme
J , - , qui se rencontrent si fréquemment en analyse, on reconnaîtra que la construction de tables pour les fonctions serait à comparer, pour l'utilité , à celle des tables elliptiques , sans offrir les mêmes difficultés, puisque ces tables seraient à simple entrée.
Quant aux coefficients A, A', A", etc., ils se déduisent l'un de l'autre suivant une loi très-simple, qui est :
Pour la formule (12)
« t pour lu formule (18)
le signe supérieur se rapportant au cas où fi est pair , et le signe inférieur au cas où ytc est impair.
§ 76. Développements des kappa logarithmiques normaux.
Le paramètre n = — c'sin. 3 A étant représenté par — comme pour les kappa circulaires , nous aurons également trois cas à considérer :
1° Celui où k et c sont tous deux très-petits. 2° Celui où ils sont tous deux très-grands.
3° Celui où k est très-petit et c très-grand.
Dans les deux premiers cas , le développement sera donné par les formules (12) et (15) du § 73. Dans le troisième , on développera en séries (1— A'sin.'?)- 1 et (1-4-*' tang. qui entrent dans l'expression
kap.(-*V, P ) = f— . r- *
J (l-^sin.^Aycos.^l-^sin.^l/l-Ho'tang.'y
et l'on trouvera , par la même méthode que nous avons suivie à l'égard des kappa circulaires ,
(17) kap. (-*V, ? ) =
A - 1 Z>'B -+- ~ o*C - i^&CD-f.etc 2 2.4 2.4.6
+k*A A - l - w-b 4 + g m r W04 + etc .
-* 6 A 6 -4- - À«A a B 6 — — *«4«C 6 + — -~ * 6 o«D 6 -t- etc. 1 2.4 2.4.6
dr k n A„ zp etc. ;
formule dans laquelle on a, en désignant sin. ? par
P dx
A =/ y— ^ = log. tang. (4So + $. f ) ,
S* x*dx 1 sin. y 1^ B J [\~-xy = 2cos.> ~~2 '
/* ar 4 <£r i sin. 3 ? 3
J (l—xy A cos.*? 4
/* x°dx 1 sin. 5 ? 5 D y (1— x') 4 = 6 cos. G ? ~~ 6 1
A a ==^-^-~ = — sin. ? log. tang. (45° *?),
s* x*dx 1 sin. 3 ? 3 B »^(ïZ^ = 2c^s7>~2
# 6 cto 1 sin. 5 ? 5
/"» x 8 c£f 1 sin. 7 ? 7 ° a y ( 1— **)*- = 6 cos.«? ~~ G "
fx^dx sin. 3 ? sin.? , , ... , .
A,= J — r = ^ p- H-log.tang.(4h''-H?),
.r 6 ££r 1 sin. 5 ? 5
p x*dx l sin. 7 ? 7 C/| ^ (l— = ^ cos.*? ~~4 "
f*x™dx 1 sin. 9 ? 9 °* y (l-* a ) 4=ï 6c^sT?"6 Ci '
sin. 5 ? sin. 3 ? sin. ?
r x*dx
Px"dx __l sin. "y 6 T/ (!—**)*"" 5 cos.«- r C
log. tang. (45°+*?),
1 sin. 7 ?
2 cos.*?
1 sin. 9 ? 9
4cos.*? A
Px n dx
A -T/T-F= ete
La remarque que nous avons faite au§ 73, sur la formule (15), s'applique également à la formule précédente, et l'on pourra, comme pour les kappa circulaires, permuter avec avantage l'amplitude et l'angle du paramètre. En effet, puisque /t , = c'sin.*A est très-petit , tandis que c est voisin de l'unité , il faut que l'angle A soit très-petit ; de manière que si la série est divergente pour l'amplitude f , elle sera très-convergente, au contraire, pour l'amplitude A.
La méthode exposée au § 74 , étant commune aux deux classes de kappa, nous ne nous occuperons pas du développement des kappa logarithmiques, suivant les sinus des multiples de l'amplitude.
§ 77. M. Gudermann, professeur de mathématiques à Munster , a publié en 1837 , dans le tome XVI du journal de M. Crelle, une nouvelle formule d'approximation pour les digamma , que nous allons exposer.
Soit
V 1 — sin.'O sin.*?
Si l'on pose t = tang. \ ? , il viendra
2é 1 — ** y 1 H- 2 COS. 20.* 2 -4- < 4 sin. s = , cos. - f — , a(?) =
d'où
p ïdt
J V\ 2 cos.2W
Développant le radical en série , on aura l'identité
dïins laquelle les fonctions A, , A, , A 3 , etc., sont soumises à l'échelle de relation
A n =(2n-l)cos.20.A rt , - (» - l)'A„ a , qui donne successivement
A, = cos. 2o ,
A, = 3 cos.'2e — 1 ,
A 3 = 3.5 cos. 3 2o — 9 cos. 20 ,
A, = 8.5.7 cos.*20 ~ 90 cos.'2e -4- 9,
A 5 = 3.5.7.9 cos. 5 2o — 1050 cos. 3 2o -t- 225 cos. 29 ,
A G = 3.5.7.9.11 cos. 6 2o — U175 cos. 4 20 -h 4725 cos. a 2o — 225,
etc.
La loi que suivent les coefficients des puissances de cos.20, ne s'aperçoit par sur-le-charap. Cependant, il est certain que les rapports y* t\* T~^~i » etc * ' sont tous mom ^ res <\ ue l'unit , positive ou négative. En effet, les limites de cos. 20 étant 1 et — 1 , qui répondent à 6 = o et à 0 =-J , on a , pour cos, 20 = 1 ,
(1 #»)-« = 1 r + t* — t« + l« — *»» + clc. ;
d'où
1 - 1 ' 1.2~ ' l.SU ' 1 .8.8.4 ' et °' ' et pour cos. 20 = — 1 ,
(1 — f )-' = 1 + (' + l' + ( 6 + + etc. ;
d'où
la convergence de la série dépendra donc uniquement de la petitesse de t, dont la plus grande valeur est l'unité positive.
Le développement du radical , étant multiplié par îdt 'et intégré, on obtient
(18) . .d. g .(o )f )= a ( < - T . J+ ^. s -. r — ^---e,c.). Si l'on change 0 en 2 — 0 , dans les fonctions A , et dans
ce digamma deviendra dig. (6, de plus, les fonctions A d'indice impair, telles que A, , A 3 , A 5 , etc., changeront de signe, tandis que celles d'indice pair resteront les mêmes. Il suit de là que
( .9) . . di g . (* , = 1 (, h- * • î + £ • ^ • £ + etc.) .
Au moyen des deux formules précédentes , il sera facile de calculer simultanément la fonction dig. (c, ? ), et la fonction dig. (6, y) relative au module complémentaire.
Lorsque Q = o, on a dig. ? = ? , 7- = ^ = etc. = 1 ,
et l'on obtient
J ** * ? \ ?= \ ï"*"b r " + "7" 4 ' etC 7 ;
ce qui offre le développement connu de l'arc en fonction de sa tangente , puisque t = tang. £ ? .
Lorsque 0 =y , on a
f'do
ài 8-? = /7Zr-= lo S- t» n g (*&° + 4?).
t/ COS. f
fonction qui devient infinie pour 7 = Ces valeurs de 9 et de y, substituées dans la formule (18) , donnent
ainsi la série entre parenthèses , a pour valeur l'infini ; résultat connu d'ailleurs.
