CHAPITRE IX

Transformation du module dam les dt gamma.

§ 78. Jusqu'à présent nous n'avons comparé entre eux que des digamma de même module : c'est ici le lieu de faire connaître une loi très-simple , pour former une suite infinie de digamma , qui diffèrent les uns des autres , tant par le module que par l'amplitude.

Considérons les deux fonctions

je dis que si l'on fait

et que l'on détermine y' d'après l'équation

sin. (2-/ — f) — c sin. ? , on aura généralement

di 6-(c', -/) = -y di g«( c > ?)• En effet , la relation supposée entre ? et / donne d'abord

COS. (2/ — y) = A }

d'où

cos. (2/ — y) cos. f — sin. (2/— ^) sin. - T — a cos.- r — csin.'?;

mais le premier membre de cette équation revient a cos. 2 ? ' : donc

cos.2y' — a* cos. f — csin.'f , 2 cos.'y' =1 — c sin. "y -h à cos. y , 2 sin. Y = 1 -*- c sin. a ? — a cos. ? , 2 sin./ cos. f = sin. ? (c cos. f a) ,

2rf ? ' = ^(c cos. ? -»- a),

C COS. y -4- A

Des deux dernières équations on tire

df 1 c <f »

7(c77P~2~ ' ZkIT

ce qui donne, en intégrant,

dig- (c, f) = dig. (c, f ).

Mous n'ajoutons pas de constante , parce que les amplitudes y et •/ s'évanouissent en même temps.

On voit, par ce résultat, que les fonctions dig.(c', /), dig.(c, ?) , seront entre elles dans un rapport indépendant des amplitudes ? et Si l'on fait / = \x , on aura

dig. (c', /) = D(c'), sin. (r — y) = c sin. cos. (t — j>) = ± :

or a étant toujours positif (§ 8) , la plus petite valeur de ç> qui satisfait à cette expression de cos. (jt — y) , est y = t ; ce qui donne dig. (c, y) = 2D(c) , et les fonctions complètes D(c) et D(c') , ont entre elles cette relation très-simple

§ 79. Concevons maintenant , qu'à partir du terme donné c , on forme une suite inûnie de modules c', c", c'", etc., d'après la loi

c' = , c" = , c'" = -, etc.;

cette suite de modules , qui est continuellement croissante , aura pour limite l'unité , et atteindra sensiblement cette limite au bout d'un assez petit nombre de termes.

Si l'on appelle , par analogie, 6', 6", etc., les compléments des modules c', c",c"', etc., la suite b\ h", b'" , etc., sera continuellement décroissante, et chaque terme se déduira du module précédent, suivant cette loi

b' = - , b" = - -, b'" = -, etc.

Soit ensuite ?, f, etc., la série des amplitudes qui se

déduisent chacune de la précédente , par les formules

sin. ( 2y' — v ) = c sin. % , sin. — y') = c' sin.

sin.(V'-? / ')==c''sin. v ", etc. :

on formera , de cette manière , une suite infinie de digamma entre lesquels on aura les équations

dig.(c', y ') = ^ • dig.(c, ? ), di g-( c "> ?") = ^^- * <%•(<>'. ? / )=—^- • • <%-( c » ri»