CHAPITRE PREMIER

Vdx

•+■ yx* h- fx* -+- far 4

S 1. Dans l'introduction qui précède son Traité des fonctions elliptiques, Legendre fait observer que si l'on pouvait ranger dans un ordre méthodique les diverses transcendantes qui n'ont été connues et employées que sous le nom de quadratures; si, en étudiant leurs propriétés, on trouvait les moyens de les réduire aux expressions les plus simples dont elles sont susceptibles dans l'état de généralité , et d'en calculer avec facilité les valeurs approchées quand elles deviennent entièrement déterminées ; alors les transcendantes dont il s'agit , désignées chacune par un caractère particulier , pourraient être employées dans l'analyse à peu près comme le sont les arcs de cercle et les logarithmes.

Ce qu'il est , pour ainsi dire , impossible d'exécuter sur un plan aussi vaste que celui qui vient d'être tracé, Legendre l'a réalisé à l'égard des transcendantes qui se rapprochent le plus des fonctions circulaires et logarithmiques, telles ^ que les arcs d'ellipse et en général les transcendantes auxquelles il a donné le nom de fonctions elliptiques.

Ces fonctions , comme on le verra dans la suite , dérivent toutes de la formule

/\ Vdx V a h- &x -+- yx % -f- «ta 3 -i- ex A '

dans laquelle P désigne une fonction rationnelle de x. Nous allons emprunter à M. Lacroix (*) l'exposé des transformations algébriques dont elle est susceptible.

Toute différentielle Xdx dans laquelle X est une fonction rationnelle de x et de

\/a -4- fix -+- yx* ■+- fx l ■+- ex A ,

radical que nous désignerons par R, pourra toujours se ramener à dépendre de P car il est évident que X ne pourra avoir que la forme £qr^ , A , B, C et D étant des fonctions rationnelles de x; or, en multipliant les deux termes de cette fraction par C — DR, il viendra

AC — BDR a — (AD — CB) R AC — BDR* (AD — CB)R C* — D R' C 1 — D R 1 C'-D'R a '

La première partie de ce résultat est rationnelle ; si l'on multiplie par R les deux termes de la seconde , elle se changera en

(AD — CB) R a ^ C 1 — D'R* R

et faisant