C-*- DR R
Je vais montrer maintenant que , quelle que soit la fonction rationnelle P , la différentielle ^ peut être ramenée à d'autres plus simples. En substituant d'abord ^rj~ a * a P^ ace de * dans ' a quantité soumise au radical et réduisant tous ses termes au même dénominateur, elle deviendra de la forme
on pourra par conséquent faire sortir du radical le dénominateur. En égalant à zéro les coefficients 0' et l'intégrale proposée se réduira à
P' étant une fonction rationnelle de y: p et q seront déterminés par les équations & — o, J 1 ' = o, mais il est essentiel de s'assurer que ces quantités auront toujours des valeurs réelles. Pour y parvenir, mettons
a -f- $x -+- r*' -+- ete 3 -»- ex A
sous la forme
et concevons que la quantité renfermée entre les parenthèses, soit décomposée en facteurs réels du second degré x* — fx ■+■ g, tf 1 — fx* -+- g\ ce qui est toujours possible ; il suffira alors de fairedans chacun de ces facteurs la substitution indiquée, et d'égaler à zéro les termes affectés de la première puissance dey; on négligera le dénominateur commun , puisqu'il sort du radical. Ce calcul étant effectué , il en résultera les équations
lesquelles donneront sous une forme rationnelle, les valeurs de p ■+■ q et de pq; or, il suit de la théorie des équations que p et q seront les racines d'une équation du second degré de la forme u 2 — (p -+- q) m -4- pq = o, et seront réelles si \(p ■+■ q)* surpasse pq, ou si l (p •+- q)* — pq est une quantité positive.
Voyons maintenant si cette condition est toujours remplie : soient a, b, c, d les quatre racines de l'équation
il est évident qu'on aura
f=a + b, g—ab, f'=c-^d, g' — cd, et les équations
-l j q — f(P + Q) + %g = o et îpq — f' {p + q) + 2g' deviendront
%pq — (a+b) (/?-»- ç) -h 1ab=o, %pq — (c + d) (p + q) + %cd=o :
tirant de ces dernières les valeurs de p q et de pq, on aura 2(00 — cd) ab(c-*-d)-~cd(a + b)
formant, au moyen de ces expressions, celle de J (p + q)* — pq, quantité qui revient à i(p — y)% et décomposant en facteurs le résultat qu'on aura obtenu , on trouvera
l(r> (*>-*)<*-*) * KP q) (a + b-c-dy
Lorsque les quatre racines a, b, cetd seront réelles , on pourra les disposer dans l'ordre de leurs grandeurs respectives, en plaçant les négatives après les positives; dans ce cas, les différences a — c, a — d, b — c, b — d seront toutes positives, (p — g) 2 sera donc positif, p et g seront donc réels.
Si deux racines o, b sont imaginaires , elles seront nécessairement de la forme m •+■ *V — 1 , m — n|/ — 1 et elles pourront toujours
être comprises dans le même facteur du second degré : posons donc
a = m n\/ — l, b = m — «l/ — 1; il en résultera
ao = w a -+- n\ a h- © — c — d = 2m — c — d; ainsi les quantités p -f- g et /rç seront réelles. On aura de plus a — c=m -t-nl/^ï — c, a — d = m n\/^\ — d , 0 — o=m — ni/— 1 — c, 6 — <f = m — nl/^ï — d ,
cfoù
(a— c) (6— c) = m' — 2c»» -f- c 1 -*-*»' = (m — c)' n' , (a d) = m* — îdm + d * n' = (»» -<*) ' 4- ,»« ,
quantités essentiellement positives.
Enfin , si l'on a à la fois
a = m +■ n V—\ , b = m — n i/^T , c = m' h- nV~—i , cf = m' — n'V~\ , on développera les produits
(m nV/- 1 - m' - n V^T) (»» - n\^\ -»»'-+- n'|/=ï) ,
(«</) (6-c) = (m nV^T — m'-+- nV^X) (m — n\/^\ —m'— n'V~) , les imaginaires disparaîtront, et il viendra
m » t n ' 2mm' — 2nn' m" -1- n" = (m — m')' + (w — «')' , m' »' — 2m»»' 2»»' +-,»"4 n" = (♦/» m'y -+- (n -f- n')' , résultats nécessairement positifs.
Si les racines c et d étaient respectivement égales aux racines a et b, les valeurs précédentes de p + q et de p — q deviendraient J j mais , dans ce cas , on aurait
et le radical disparaîtrait.
Lorsque l'une des racines a ou b sera égale à Tune des racines c ou d, il en résultera p — q = o : dans cette circonstance, on peut, en combinant ensemble les deux racines égales , en former un facteur carré qui sortira du radical. Soit, par exemple , a = c, il vient (x — a) 1 (x -1 ■+- hx -+- k) au lieu de x k ■+- ^x 3 ■+■ etc., et l'intégrale proposée se change en
rdx
fi
(x — a) V x 1 -h hx -+- k)
qui ne dépend que des arcs de cercle et des logarithmes.
Enfin si l'on avait a h- b — c -+- d 7 les quantités p -f- q et p — q deviendraient inGnies ; mais on aurait en même temps /* = /", ce qui changerait les deux facteurs du second degré de x*-*-^ j^-^elc. , en x" 1 — fa-*- g etar 1 — fa g': la simple supposition de x — y h-/, ferait disparaître le second terme de l'un et de Tau Ire.
Nous voilà donc convaincus que la transformation proposée cidessus conduira toujours à une expression réelle , et qu'on pourra changer R en
par la substitution de 'yqpj" au lieu de x ; mais cette substitution donne aussi
dj __ 0-+-y)g<fy - (p + qy)*y
et désignant par P' ce que devient alors la fonction P, on aura
C V JL C ng~p)dy :
l'intégration de J'^- sera donc ramenée à celle de
Qdy
Q étant une fonction rationnelle de y.
§ % Je vais montrer qu'on peut réduire cette fonction à ne renfermer que des puissances paires de y. En la supposant fractionnaire , on lui donnera la forme b + y , les lettres S, T, U, V représentant des fonctions de y% et si on multiplie les deux termes de cette fraction par U — Vy, il viendra
US — VTy* 4- (UT-VS)y #
U' — vy ;
posant
US - VTy' UT-VS
u>— vy — ' u'— vy ~~ '
G et H seront encore des fonctions de y", et la fonction Q étant transformée enG + Hy , la différentielle
Qcfcr
Va' ■+- ay -4- r 'y 4
deviendra
Grfy Hyrfy
W r'y 4 W ay h- r'y 4
Faisant y a = * dans la seconde partie , elle se changera en
Hdz
H étant une fonction rationnelle de z , et sera rendue rationnelle par les méthodes connues ; alors il ne restera plus à traiter que
V* H-py -+- r y
Nous nous occuperons donc désormais de la seule intégrale
Vdx
Va h- /S»'' r# 4
dans laquelle P ne contient que. des puissances paires de*, et nous ferons pour abréger
V& -h (te 2 ■+- yx k s= R.
En décomposant le polynôme
en deux facteurs de la forme x 1 — fx -4- g , x* — f'x+g' , nous avons supposé implicitement que le coefficient de x* était positif. Si au lieu de h- ex* on avait — ex* sous le radical , on poserait
Va. -4- (ix yx'+Jx* — ex* — V—\ . V ex*— cto 3 — yx*— 0.v — « ,
et toute la discussion précédente resterait la même : seulement le radical du second degré en y .
l/V •+■ ey •+• r'y* ,
devrait être multiplié par |/ — 1 . Quant à la réalité ou à l'imaginante de ce radical , elle dépendra des signes des coefficients a y' et des relations de ces coefficients entre eux. Pour traiter la question dans toute sa généralité , il faut donc supposer le double signe à ces coefficients.
§8. Si la fonction P est entière, elle ne pourra avoir que la forme A -4- Bx' -4- Cx* -4- Dx 6 -4- etc. , puisqu'elle ne doit contenir que des puissances paires de x : dans ce cas
/Vdx , Pdx px^dx
-jp deviendra ^J~~^~ + J — etc - ï
/x 2m dx , r x 2m ~ 2 dx rx^-'dx se ramène à / et à / , R J R J R
comme nous allons le prouver en différentiant la quantité R***-*; ce qui donne
/a o\ 2m— 4j ■/ T"! 7 or 21 " - 3 [dx -\-?>yx l )dx
(2m— 8) V# K« -4- /ar 1 -4- yx* -4- v • ' :
-4- &X* -4- yj? 4
réduisant au même dénominateur , prenant séparément l'intégrale de chaque terme et remettant R au lieu de
|/a Ar 1 -4- yx* ,
il vu
Par le moyen de cette équation , on ramènera tous les cas de l'ex- — -g — aux deux suivants
et Ton voit par là que P étant une fonction rationnelle et entière , renfermera deux parties , Tune intégrée, et l'autre de la forme
§ -4. Passons au cas où P est une fonction rationnelle quelconque. Après en avoir extrait la partie entière qu'on traitera comme il vient d'être dit, on fera ar 7 = u, et on décomposera la fraction restante en fractions partielles de la forme (<< ^ a)w , ou (r ^ fl) n , N et a étant des quantités réelles ou imaginaires, et il viendra à intégrer une suite de termes, tels que N f^^ y^K c l u il fau ^ ra tacher de réduire à d'autres dans lesquels l'exposant de h- a soit le moindre possible.
Pour suivre la même marche que dans le paragraphe précédent, nous chercherons une fonction qui, étant différentiée, puisse donner une suite de termes de la forme
kdx todx Cdx
etc.
Or, en réduisant ces termes au même dénominateur, la fonction qu'on trouvera par la réunion de tous les numérateurs ne contiendra que des puissances paires de x, et avec un peu d'habitude de la diffé-
rentialion , on verra que la différentielle de — — ^rj satisfait à
j-ii
cette condition. On trouve pour cette différentielle
(s* -h a) (xdK -f- Kdx) — 2(n — l)rMx
mettant pour R et dR leurs valeurs , et réduisant tous les termes au même dénominateur, l'expression précédente deviendra
dx r — (2»— tyyx*— [(2w— 4)/3— 3ar]s 4 — [(%»— S)*— Sa/3]s'-»-g& "|
faisant x % a = * , nous aurons = z — a, et substituant dans la quantité qui multiplie -g- , on pourra lui donner la forme
As 3 -f- Bg* h- Cs -4- D A B C D
En effectuant avec attention les calculs indiqués , remettant pour z sa valeur, multipliant le résultat par ^ , et prenant l'intégrale de chaque terme , on trouvera
* R «, P dx
~(2»-4)(/3-3ay) f—^-— v M V (*»-*-a) B - 2 R
d'où il suit qu'on pourra exprimer f. t R par des intégrales de plus en plus simples , tant que n surpassera l'unité. Lorsqu'on sera parvenu à y j x< ^, & , on aura » = 2,2» — 4=0, et l'intégrale proposée dépendra de
y* dx S* dx P dx — et de / — - = / (x* + a) — -.
Quand a? a -f- a sera un diviseur de la quantité a. -+- •+■ <yx A , il faudra que le reste a. — /3a -f- ya 3 de la division de ce trinôme par a; 1 -f- a soit nul de lui-même. Or, ce reste étant précisément un des coefficients de la dernière intégrale dans (a) , si l'on écrit » 1
au lieu de n , on aura par ce moyen
y* dx p dx r dx
et l'on pourra pousser les réductions successives jusqu'à ce qu'on soit arrivé à Jj^hy*'» ^ se trouvera exprimé par
/dx r dx
§ 5. En rapprochant ces résultats de ceux du paragraphe précédent' il sera prouvé que, quelle que soit la fonction P, l'intégration de
?dx
V x -+- (àx* •+- fyx*
peut être ramenée à celle de
y"* dx rdx PxHx
Si l'on avait des moyens pour obtenir ces dernières intégrales , au moins par approximation , comme on en a pour calculer les logarithmes et les arcs de cercle, on pourrait regarder comme intégrées toutes les expressions qui s'y ramèneraient, de même qu'on regarde comme intégrées toutes celles qui conduisent à des logarithmes et à des arcs de cercle.
Les intégrales
/dx /x*dx p dx "R ' J ~~R~ ' J (*' -f-a)R '
sont donc de nouvelles fonctions transcendantes qu'il faut introduire dans le calcul. Mais nous allons bientôt ramener ces transcendantes à d'autres plus faciles à calculer et dont on peut donner une interprétation géométrique.
