t-C" 1-hC 1 -4-C' l-*-c

dig.(c"\ D =— • dig.(c", j'I^-j- -j— — ' dig.(c, ,) , etc. etc.

Quant aux fonctions complètes , l'équation D(c') = (1 c)D(c) déjà trouvée , donnera successivement

D(c') = (l h-c)D(c), D(c") = (1 -t- c')D(c') = (1 h- c)(l + c')D(c) , D(c"') = (1 + c")D(c") =(U c)(l +c')(l +c")D(c) , etc. etc.

§ 80. On peut encore donner à ces résultats une plus grande extension. En effet , la suite inGnie de modules c, c', c", etc., qui est croissante dans un sens , et qui a pour limite l'unité , peut être prolongée à l'infini dans le sens contraire , où elle sera décroissante et aura pour limite zéro. Désignons par c, c,, c„, c,„, etc., cette suite décroissante : la loi qui lie deux termes consécutifs sera semblablement

îvt, îv—, ,

mais pour former chaque terme au moyen du précédent , il sera plus simple d'employer les compléments b y b,, b„, b,„, etc., des modules c, c„ c„> c,„, etc.

Si Pou remarque que de l'équation ©'= on déduit c =

on obtiendra , en éliminant c entre les équations c = ^Sl et c 9 = 1 — b 1 , la relation

l-fi'

d'où l'on conclura la suite d'équations

= - -, 0,,= - c,„=-z r-» elc -

Cela posé, si l'on désigne par j>, p„ p „, etc., la série des amplitudes correspondantes aux modules c^c n c tn c, n% etc., on aura d'abord

sin. (2 y — f,)*=c, sin. y,;

équation qu'il faut résoudre pour déduire f, de r . On en tire successivement

sin. ©cos. s 1 — ( 1 6) sin. 9 © sin. f, = (1 -+- b) , cos. ©, = ,

1 — (1 — 6) sin. 9 * (1 •+• b) tang. ©

,<.., f ,) = i j — \u, g . ? ,= \ t ; aog v

Cette dernière peut se mettre sous la forme

et l'on calculera successivement les amplitudes f,„ y,,,, etc., par les formules

taD g' (?" tan g« ?r »

talî g' (?,//— ?//) = *,/ laD g' ?„<

etc. etc.

La suite des modules croissants c, c', c", etc., dont la limite est l'unité, et la suite des modules décroissants c„c„, c,,,, etc., dont la limite est zéro , n'en forment qu'une seule , liée par la même loi , et qu'on peut écrire ainsi

limiteO) . . . c,„, c„ t c,, c, c', c", c'" . . . (limite l.

Cette suite , qui peut être prolongée indéfiniment dans les deux sens, est ce qu'on appelle une échelle de modules. Les amplitudes correspondantes à deux termes consécutifs , sont liées par la formule générale

Ung. (,« ^+») tfP-M) taug. .,<* + •),

ou

sin. + ? 00) = C W 8in . ? M.

§ 81. D'après ce qui précède, on pourra former la suite infinie de digamma, dont les modules suivront une marche décroissante,

dig. (c, ? ) =— -— ' dig. (c,, 1 | c

d »g- («, . ? J = 2 "■ dig. («„ , y„) , 1 — f- c

di g- («„» ?«) = — ^«Kg- («m» f,,,)* etc.

et parce que 1 c, = -, , il vient successivement

<%• fe, ?,) = (! + A) dig. (C, y), dig.(c„, v „) = (l +6,) dig. (*,, ¥ : )«(l + ft,)(l + A„)difl.(c, ? ), etc. etc.

Quant aux fonctions complètes , puisque D(o') = (1 c) D(c), on a également D(c)=(l -4-c,) D(c,) ; d'où

D(c '' = îT^ D(c) = -l~ D(c) '

etc. etc.

On remarquera, d'ailleurs, que tandis que les modules c, c,, c„, etc., décroissent d'une manière rapide , leurs compléments 6, 6,,d„, etc., s'approchent de plus en plus de l'unité t qui est leur limite. § 82. La formule

. p Q-t-o)tanft. ?

8 ^ li-6tang.y

est susceptible d'une transformation importante. En y remplaçant tang. 9 ? par sa valeur |^|2 et £J par c„ on obtient

(1 -t- cos. 2 -) ta rift. » 2co8. a 9.tang. ? sin.2,;

taDfï. », = — ^— — — — — — — — — — — ^— — .