C-4-COS.2? C, -4- COS. 2 y C, -4- COS.2 f

Ce résultat fait voir que si c, était nul, on aurait tang. ? , = lang. 2?, et qu'ainsi :

Z>ans /a «érie des amplitudes f, j>„ y,,,, etc., chaque terme tend de plus en plus à être double de celui qui le précède. Cette duplication est rigoureusement exacte dès le second terme , quand - r = 2 ; car on a alors, tang. ^ = o, et , par conséquent , = r.

§ 83. Les équations (1) donnent, en général ,

d%.(., f )=(i (i + o(i + o (i-H C( ,)) dig - (C( ;:; ?w) ;

mais lorsque c(„) est devenu très-petit , on a sensiblement

A ( c («)' ?(«)) = 1 > ?(»))=?(«)• Soit donc x l'angle que nous appellerons V angle-limite : il viendra

dig.(c, ? ) = ( l -4- C,) ( l -4- C„) ( l -4- C,„) (1-4- C (n) )* .

Lorsque f «= £ r , on a, d'après la loi de duplication des amplitudes f> etc.,

et , en général ,

d'où *=x$t dans ce cas, et la fonction complète a pour expression

H suit de là que le produit

que nous représenterons par S, a pour valeur

H peut aussi s'exprimer de cette manière

° C > C » C (— «) Cl/c^C,,, €(„,)

On peut encore le transformer , en remarquant que des équations on déduit

et , par conséquent ,

Le digamma exprimé en fonction de l'angle-limite , sera donné par l'équation

dig.&=Ex = .

§ 84. Pour faciliter le calcul des modules décroissants, on déterminera l'angle du module 6 , par l'équation sin. 6 = c; ce qui donne o=co8.0, et

Faisant de même c, =tang.* \ 0=sin. 0, , ce qui déterminera un nouvel angle 0,, on aura c„ = tang. a £9„ et ainsi de suite.

Lorsqu'on sera parvenu à un module fort petit, on pourra, pour éviter les angles trop petits, calculer le terme suivant c (n+1) par la formule

dont le premier , ou , tout au plus, les deux premiers termes suffiront. Cette formule se tire de l'expression

Quant au calcul des angles etc., nous n'avons rien à ajouter à

la simplicité de la formule tang. — ?) =o tang. ?, qui est trèspropre au calcul trigonométrique.

Exemple.

On demande la valeur de dig. (c, ?) , lorsque

Voici d'abord un tableau qui offre le calcul des modules et de leurs compléments :

Leurs logarithmes vulgaires.

c = sin. 75» 0' O'.OO 9.9849438,

b = cos. 75 0 0 .00 9.4129962,

ftang.'87 30 0.00 | MW96|

(sin. 86 4 16 .47 )

6, = cos. 36 4 16 .47 9.9075648,

(tang.'l8 2 8.285 j 9.0258880,

(sin. 6 5 9 .88 j

b„ = cos. 6 5 9 . 88 9.9975452 ,

(tang.'ô 2 84.69 | 74M167â

b,„ = cos. 0 9 42 . 90 9.9999982 ,

c = ic a -+- etc 4.3002761 ,

Ces logarithmes donneront aisément la valeur de S , pour laquelle il suffira d'employer quatre facteurs. On aura ainsi

log.vulg. £= 0.2460560, et 2 = 1.7622037.

De là résulte d'abord D(c) =f • £ = 2.7080681 : on trouvera ensuite, par le calcul des amplitudes,

Les autres valeurs de y augmenteraient en raison double; d'où il suit que la limite x des angles ^ est 80% ou |: donc on a

dig.(c, ^) = S . ^=0.9226877.

i ' aleurs de cet de h.

§ 85. Etant donnée la valeur de l'amplitude p, on voit qu'il est facile de trouver le digamma avec toute l'exactitude nécessaire. Réciproquement, il peut être utile de déterminer l'amplitude, en supposant connue la valeur du di gamma. A cet effet , il faudra calculer les termes de la série c„ c„, etc. , jusqu'à un terme assez petit pour être négligé. Soit, par exemple, c„ ce terme : puisqu'on a ?„ = 2f„„ (§ 82) , l'angle-limite x sera ^„„ ; et comme on connaît d'ailleurs la valeur de dig. (c, ? ) , qui est donnée , on connaît x par l'équation x = dlg " ( *' y) , et, par conséquent, l'amplitude f„„ égale à Wx.

Cela posé, on calculera successivement les valeurs de , f„ , f, au moyen des équations

sin.(2 ? ,„ — ?„„) = c„„ sin. ?„„ , sin. (2 ? „ — f ,„) = c,„ sin. y,„ , sin.(2 ? , — f„) = c„ sin.?,,, sin. (2j> — f ,) = c, sin. f, ,

et on aura l'amplitude cherchée y.

§ 86. La méthode que nous venons d'exposer est en général trèsexpéditive. Elle exigera seulement qu'on calcule quelques termes de plus , tant dans la suite des modules que dans celle des amplitudes, lorsque c sera extrêmement près de l'unité. Mais on peut s'assurer que ce nombre de termes ne sera jamais bien considérable : car , dans l'hypothèse où l'on devrait continuer la suite c, c, , c„, etc., jusqu'au dixième terme , pour que ce terme fût d'une unité décimale du dixième ordre , il faudrait que la valeur primitive de 6 fût plus petite que 10~ 21 , et, par conséquent, que celle de 1 — c fût plus petite que 10 -42 .

La remarque précédente , qui est due à Legcndre , rend l'universalité de la méthode incontestable. Cependant, lorsque 1 — c est extrêmement petit , on peut profiter de cette circonstance pour simplifier les calculs , et procéder d'une autre manière aux approximations.

Dans le cas dont il s'agit , la quantité b est très-petite ; et comme on a

dig.(c, ? )

J V cos.^ a V sin.'v / COS. r '

l/l + fc'tang.'f

si l'amplitude y est telle , que tang. ? soit beaucoup plus petite que J, on pourra négliger le terme fc 1 tang. 9 ? sous le radical. On aura alors , avec une exactitude suffisante ,

<%• ( c > r) —f~~ = lo 5- laD c- *?)•

Si tang. ? est comparable à ^, il faudra transformer la formule proposée dig. (c, f) en une autre dig.(c^, ^) où soit beaucoup plus petit, aûn que, dans la transformée, b^ 1 tang. devienne une quantité négligeable. C'est ce qu'il est facile d'obtenir, en calculant jusqu'au terme convenable, les modules croissants c', c", etc., et les amplitudes décroissantes etc., par les formules du § 79. Soit,

à cet effet, 6 = sin. A , on aura o' — tang.'iA; soit de nouveau ©' = sin. A', on aura h" = tang. *i A', et ainsi de suite, jusqu'au terme , qui ait le degré de petitesse exigé. On calculera ensuite les amplitudes f, etc., jusqu'au terme correspondant à b^ : faisant alors c^= 1 , et

cY"...>-')

l+cl+c' v c c ' '

on aura

(2) . . . dig. (c, y) = L' log. tang. (45« i f W). '

§ 87. Il ne faut pas perdre de vue, que cette approximation est fondée sur ce que , dans la valeur de dig. (c^ , ^) , on a négligé le terme [o^ tang. ; ce qui ne serait plus permis, si était assez près de 90°, pour que b^ tang. ^ cessât d'être très-petit. Supposons (ce qui est le cas le plus défavorable) qu'on ait y M = 90° : alors, il faudra prolonger les suites d'un terme de plus, ou jusqu'au l)* 9 terme; ce qui donnera, à cause de tang. — ? (|1 " H *) = tang.v^ 0 ,

tang. ^ +1 > = ^ 1 , 6<^'> J tang. V 1 ^ 0 = b^ l \ Or , l'on a

( iw )

d'où , en négligeant les puissances de b^' supérieures à la seconde ,

4 — bM*

Il suit de cette dernière équation , que &G*+«> et ftW- deviennent négligeables en même temps , et qu'ainsi le radical

A^O^cog.^+Oi/i + 40^0' tan g.. v (H+i) ŒaCOg . f i^^H-HO

se réduit à cos. ^ ([t " + " l \ La formule précédente sera donc toujours applicable , et donnera la valeur de la fonction , aux termes près de Tordre si l'on a soin de calculer un terme de plus, lorsque

[b^ tang. D e8t P as négligeable. Cette observation ne concerne pas les digamma seulement : il faudra y avoir égard chaque fuis qu'il s'agira d'appliquer la méthode des modules croissants au calcul des autres fonctions elliptiques.

§ 88. Proposons-nous de trouver la valeur de la fonction complète aux termes près de l'ordre b A : pour cela , nous ferons f = 90° , et nous passerons de la proposée dig. (c, ^) à la transformée dig.(c\ /). L'équation tang. (f — /) = b' tang. /, devenant cot. f=b' tang. /, on aura

tang./=— , fc' a tang.y=o\

sin. / = - — = 1 b' -h — b'" — etc.

Or, de la formule (S) du §69, en négligeant les termes en b' 4 tang. 4 /, qui ne sont que de l'ordre b'* , et en observant que

log. tang. (45»+ */) =- log. ,

i \l — sin. y /

on déduit

*,.(,. . /)= i loc .(f^)(, + u-.)^^: :

2 ° \1 — sin. f}\ 4 / 4 sin./ substituant a sin. / et à b" tang. y leurs valeurs, et négligeant

les puissances de h' supérieures à la première, il vient

De plus, on a en général

<%• (0, ?) =1 — di S- ( c '> ? ) :

par conséquent , puisque ^=90°,

et finalement

Lorsque 0 est assez petit pour qu'on néglige b* vis-à-vis de À , vis-à-vis de 16 et ~ vis-à-vis de log. cette formule devient simplement , aux termes près de l'ordre Z>%

• ■ D(c) = log. (J);

résultat fort remarquable , déjà signalé par Legendre j mais nous ignorons comment il y est parvenu (coyes la note V ).

Si le module c n'était pas assez voisin de l'unité pour que la différence 1 — c fût une quantité négligeable , on tirerait de la suite d'équations