CHAPITRE X

Transformation du module dans les epsilon .

§ 90. Considérons les deux fonctions

eps. (c, f ) = fd ? a (c, f ) , eps. (c', f ')=fd î 'ii(c\ 9 ') :

si Ton substitue pour d 9 ' et a(c', /) les valeurs trouvées au § 78 , qui sont

rf? CCOS.y-4-A CCOS. ? 4-A

on aura

(2 4- 2c) eps. (c', /) = y~ (c cos. f a) 1 .

Après avoir substitué , dans le second membre, la valeur

(ccos. f -+- a) 5 =2a' h-2ca cos. f — 6',

et effectue l'intégration , il viendra

(1 -4- c) eps. (c', f) = eps. (c , y) — £ 6' dig. (c ,?)-»- c sin. ^ ,

et de là résulte la formule

6* dig. (c, f ) = 2 eps. (c, y) — 2(1 -t- c) eps. (c', -t- 2c sin. ? ;

par où Ton voit que la fonction de première espèce dig.(c, peut s'exprimer par les deux arcs d'ellipse eps.{c, -f) , eps.(c\ f) (voyez la note VI).

§ 01. Considérons une suite infinie de fonctions

eps. (c , y), cps. (c, y') , eps. (c", y") , etc. , formées d'après la même loi que les fonctions

dig. (c, y), dig. (c\ y'), dig. (c", y"), etc. : on aura d'abord

£&' dig. (c, y) «=s cps. (c, — (I -*-c ) eps. (c', y' ) -f- c sin. y, | 6" dig. (c', y') = eps. (c', y') — (i W) eps. (c", y") c' sin. y' ;

mais on a de plus

<%• (c\/)==~ dig. (c, v ):

éliminant donc les digamma de ces trois équations , on aura entre les epsilon consécutifs eps. (t?, y), eps. (c', »/), eps. (c", y"), la relation

a = i 6' ( 1 + 6') eps. (c, y) - (2 V) eps. (c', y') -h 2( l c') eps. (c", y" )

+ io' (l — V) sin. y — 2c' sin. y'.

La même équation peut être appliquée h trois epsilon consécutifs, pris, non-seulement dans la suite infinie eps.(c, y), eps.(c', y'), cps. (c", y"), etc., mais, en général, dans la suite doublement infinie

.... eps.(c", y"),eps.(c', y'), eps. (c, y), eps. (c„ y,), eps. (c,„ y„), ....

dont les extrêmes sont, d'une part, Tare d'une ellipse qui a pour excentricité 1 , et qui se réduit à son grand axe ; d'autre part , l'arc d'une ellipse qui a pour excentricité 0, et qui se confond avec le cercle : il en résulte donc , que par la rectification de deux arcs d'ellipse de cette suite , on obtient la rectification de tous les autres.

La formule générale se simplifie lorsqu'il s'agit de la rectification du périmètre entier de ces ellipses. En effet, si l'on fait y" = ^T, on aura / = t et y = 2t ( § 82 ) : il viendra donc

eps. (c", y"; = E(c") , eps. (c', y') = 2E(c') , eps. (c , y) = 4E(c) ,

et l'on aura entre les trois quarts d'ellipse ci-dessus, la relation

On aura une équation semblable entre trois termes consécutifs quelconques , pris dans la série générale des ellipses. Ainsi , la circonférence d'une ellipse proposée , pourra toujours se déterminer exactement par les ciconférences de deux ellipses , aussi peu différentes de la ligne droite qu'on voudra , en prolongeant les séries dans un sens ; et aussi peu différentes du cercle qu'on voudra, en prolongeant les séries dans l'autre sens. Dans ce dernier cas , il faudrait faire usage des équations successives

etc. ,

qu'on prolongerait aussi loin qu'on aurait cru devoir prolonger la suite des modules c, , c„, c,„, etc.

§ 92. La détermination exacte et absolue dont on vient de parler , peut être regardée comme un théorème fort remarquable dans la théorie des transcendantes ; mais , si l'on a seulement pour but d'obtenir des approximations , on y parviendra plus facilement par les méthodes que nous allons exposer.

f et c et c,, étant deux amplitudes et deux modules liés respectivement par les équations-

sin. (i f — ?,) = c, sin. - f , ,

si l'on remplace c' et / par c et ? , et, par conséquent, c et f par c, et ? , daus les équations du § 78 , on aura , en désignant en général par A (l4) le radical l/l — c a (jl) sin.'?^,

et

sin. 1 ^ = \(\ -4-c, sin. 3 ?, — a, cos. ?,).

Cela posé, afin d'obtenir plus de symétrie dans les résultats, nous considérerons une fonction G, composée de la première et de la se-

conde espèce , telle que

G = f{\ -f- B sin.» ^

si Ton y substitue les valeurs précédentes de sin. 9 ? et de ^ , on aura la transformée

G = I^(G,-*Bsin. f ,),

où Ton suppose

G,=y?A, + B,sin.Y)^, A, = A+i B, B — Bc,.

On trouvera ensuite , par de semblables transformations ,

G,=-^^(G, -^srn.y,,) , G,,=I^(G,,,-i B,,sin. ? ,,,),etc. :

ainsi, l'intégrale G se ramène successivement aux intégrales semblables G„ G„, G„„ etc. , et une seule de ces intégrales suffit pour déterminer toutes les autres.

Supposons que cette suite soit prolongée jusqu'à un terme G ((t ^ assez éloigné pour que le module correspondant soit de l'ordre des quantités qu'on veut négliger : alors, on aura a^ = 1 , et la valeur de G^ se réduit d'abord à

G W == /( A (^) + \) sin ' Observons ensuite qu'on a

B,= ^Bc,, B„=iB /C „= ^Bc,c„, K, lf =^c,c„c tn , etc. :

donc , la suite B, , B„ , B //<t , décroit plus rapidement que la suite c , » c //> c,„ i etc. : donc, on peut faire , après un certain nombre de termes, B ( j =o, ce qui donnera G (fi) = A, , ?( j ; d'où il suit que x étant la limite des angles ? , {? , lf„ , etc. (§ 88) , on aura

A l'égard de A^ , puisqu'on a

A, = A -4- -B, A„=A, +jB,, etc.,

l'expression générale de A^ sera

1 * 1 n li c > c ' c " c > c » c »> , \

Maintenant , si Ton porte dans G la valeur de G, en G„ } on aura